题目内容

探究问题
(1)方法感悟:
一班同学到野外上数学活动课,为测量池塘两端A、B的距离,设计了如下方案:
方案(Ⅰ)如图1,先在平地上取一个可直接到达A、B的点C,连接AC、BC,并分别延长AC至D,BC至E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的距离即为AB的长;感悟解题方法,并完成下列填空:
解:在如图所示的两个三角形△DEC和△ABC中:DC=AC,∠
ACB
ACB
=∠
DCE
DCE
(对顶角相等),EC=BC,∴△DEC≌△ABC
(SAS)
(SAS)
,∴DE=AB(全等三角形对应边相等),即DE的距离即为AB的长.
(2)方法迁移:
方案(Ⅱ)如图2,先过B点作AB的垂线BF,再在BF上取C、D两点使BC=CD,接着过D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,则测出DE的长即为AB的距离.请你说明理由.  
(3)问题拓展:
方案(Ⅱ)中作BF⊥AB,ED⊥BF的目的是
作∠ABC=∠EDC=90°
作∠ABC=∠EDC=90°
;若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案(Ⅱ)是否成立?
成立
成立

分析:(1)根据题目中的条件,再加上对顶角∠ACB=∠DCE,可以利用SAS证明△DEC≌△ABC,进而得到ED=AB;
(2)根据垂直可得∠ABC=∠EDC=90°,再加上对顶角∠BCA=∠DCE,BC=CD可以利用AAS证明△ABC≌△EDC,再根据全等三角形的性质可得AB=ED;
(3)作BF⊥AB,ED⊥BF的目的是得∠ABC=∠EDC=90°,如果得∠ABC=∠EDC≠90°,仍可以证明△ABC≌△EDC,则也可得到AB=ED.
解答:解:(1)在如图所示的两个三角形△DEC和△ABC中:DC=AC,∠ACB=∠DCE(对顶角相等),EC=BC,∴△DEC≌△ABC (SAS),∴DE=AB(全等三角形对应边相等),即DE的距离即为AB的长.

(2)∵AB⊥BF,ED⊥FB,
∴∠ABC=∠EDC=90°,
在△ABC和△EDC中
∠ABC=∠EDC
∠BCA=∠DCE
BC=CD

∴△ABC≌△EDC(AAS),
∴AB=ED;

(3)作BF⊥AB,ED⊥BF的目的是 作∠ABC=∠EDC=90°;
如果∠ABD=∠BDE≠90°,仍可以利用AAS证明△ABC≌△EDC,则也可得到AB=ED.
点评:此题主要考查了全等三角形的应用,关键是掌握全等三角形的判定与性质,证明三角形的全等是证明线段相等的一种重要方法.
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