Question

已知：m是非负数，抛物线y=x²-2（m+1）x-（m+3）的顶点Q在直线y=-2x-2上，且和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）求A、B、Q三点的坐标．
（2）如果点P的坐标为（1，1）．求证：PA和直线y=-2x-2垂直．
（3）点M（x，1）在抛物线上，判断∠AMB和∠BAQ的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据公式法，表示出抛物线的顶点坐标，已知抛物线顶点在直线y=-2x-2上，可将顶点Q的坐标代入直线的解析式中，即可求得m的值，由此确定抛物线的解析式，进而得到A、B、Q三点的坐标；
（2）将A点坐标代入直线y=-2x-2中发现，A点正好在此直线的函数图象上；可根据A、P、Q三点的坐标，分别求出AP、AQ、PQ的长，然后用勾股定理来判断△APQ是否为直角三角形，由此可得出本题所求的结论；
（3）根据抛物线的解析式，可确定点M的坐标，进而可求得PM的长，此时发现PM=PA=PB，那么M、A、B三点共圆，在（2）中已经证得PA⊥AQ，则AQ是⊙P的切线，由弦切角定理即可得到∠AMB=∠BAQ．

解答：解：（1）设抛物线的顶点Q的坐标是（x，y），
则x=-

-2(m+1)

2

=m+1，y=

-4(m+3)-[-2(m+1)]2

4

=-m²-3m-4；
∵点Q（m+1，-m²-3m-4）在直线y=-2x-2上，
∴-m²-3m-4=-2（m+1）-2，
解得m₁=0，m₂=-1；
∵m是非负数，舍去m₂=-1，
∴m=0；
∵抛物线解析式为y=x²-2x-3，令y=0，
∴得x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），Q（1，-4）；

（2）如图，∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴P点在对称轴上，
∴PQ=|1-（-4）|=5；
把A（-1，0）代入y=-2x-2，-2x（-1）-2=0成立，
∴A点在直线y=-2x-2上；
设PQ交x轴于点D，则PQ⊥AB；
在Rt△ADQ中，AQ²=AD²+QD²=20，
在Rt△APD中，AP²=AD²+PD²=5，
∴AQ²+AP²=20+5=25=PQ²；
∴△PAQ是直角三角形，∠PAQ=90°；
∴PA⊥AQ，
∴PA和直线y=-2x-2垂直；

（3）答：∠AMB=∠BAQ；
解法一：
M（x，1）在抛物线y=x²-2x-3上，
∴1=x²-2x-3，
解得x=1±

5

，
∴点M的坐标为（1+

5

，1），PM=|1+

5

-1|=

5

，
∴PA=PM=PB=

5

；
于是点A、M、B都在以点P为圆心，

5

为半径的圆上，如图，
∵AQ⊥AP，
∴AQ是⊙P的切线，
∴∠BAQ=∠AMB；
当x=1-

5

时，点M的坐标为（1-

5

，1）；
同理可得∠BAQ=∠AMB．（15分）
解法二；当x=1+

5

时，作ME⊥x轴于点E，如图，则点E的坐标为（1+

5

，0）；
于是ME=1，EA=1+

5

+1=2+

5

，
AM=

ME2+EA2

=

12+(2+ 5 )2

=

10+4 5

，
连接BM，作BF⊥AM于F，AB=|3-（-1）|=4，
则S_△ABM=

1

2

ME•AB=

1

2

AM•BF
∴1×4=

10+4 5

•BF
∴BF=

4

10+4 5

在△MBE中，∠MEB=90°，
BM=

BE2+ME2

=

(1+ 5 -3)2+12

=

10-4 5

在△BFM中，∠BFM=90°，
sin∠BMF=

BF

BM

=

4 10+4 5

10-4 5

=

4

10-4 5 • 10+4 5

=

2

5

在△DAQ中，∠ADQ=90°，
∵sin∠DAQ=

DQ

AQ

=

2

5

，
∴sin∠BMF=sin∠DAQ
而∠BMF、∠DAQ都是锐角，
∴∠BMF=∠DAQ，即∠AMB=∠BAQ；
当x=1-

5

时，同解法一．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定和性质、切线的判定、弦切角定理等重要知识点，综合性强，难度较大．