Question

如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．
（1）求BC的长；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向点D运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D方向向点D运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点D作DE⊥BC于点E，然后求出AD=BE=2，AB=DE=8，在Rt△DEC中，根据CE=

CD2-DE 2

求出CE，即可求出BC的长；
（2）（i）当0≤t≤8时，过点Q作QG⊥AB于点G，过点Q作QF⊥CB于点F，根据△CQF∽△CDE得出

QF

DE

=

CG

CD

=

CF

CE

，所以CF=

3

5

t，QF=

4

5

t，所以PG=t-

4

5

t=

1

5

t，QG=8-

3

5

t，然后分别用t表示出PD²=t²-16t+68，PQ²=

2

5

t 2-

48

5

t+64，若DQ=PD，则（10-t）²=t²-16t+68，若DQ=PQ，则（10-t）²=

2

5

t 2-

48

5

t+64，最后解方程即可；
（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10-t，此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；
（iii）当10＜t≤12时，PD=DQ=t-10，此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立，从而得出最后答案．

解答：解：（1）过点D作DE⊥BC于点E
∵四边形ABCD是直角梯形
∴四边形ABED是矩形
∴AD=BE=2，AB=DE=8
在Rt△DEC中，CE=

CD2-DE 2

=

10 2-8 2

=6
∴BC=8．

（2）（i）当0≤t≤8时，过点Q作QG⊥AB于点G，过点Q作QF⊥CB于点F．
∵BP=t，CQ=t，
∴AP=8-t，DQ=10-t，
∵DE⊥BC，QF⊥CB
∴△CQF∽△CDE
∴

QF

DE

=

CQ

CD

=

CF

CE

，
∴

QF

8

=

t

10

=

CF

6

，
∴CF=

3

5

t，QF=

4

5

t，
∴PG=t-

4

5

t=

1

5

t，QG=8-

3

5

t，
∴PD²=AP²+AD²=（8-t）²+2²=t²-16t+68，
∴PQ²=QG²+PG²=（8-

3

5

t）²+（

1

5

t）²=

2

5

t 2-

48

5

t+64，
若DQ=PD，则DQ²=PD²，
（10-t）²=t²-16t+68，
解得：t=8；
若DQ=PQ，则DQ²=PQ²，
（10-t）²=

2

5

t 2-

48

5

t+64，
解得：t₁=

26-2 34

3

，t₂=

26+2 34

3

＞8（舍去），
此时t=

26-2 34

3

．
（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10-t，
∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；
而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；
（iii）当10＜t≤12时，PD=DQ=t-10，
此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；
综上，当t=

26-2 34

3

或8≤t＜10或10＜t≤12时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质和判定，关键是列出方程，并对求出的结果与本题相结合，要注意的是（2）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．