Question

如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A₃B₃=50m，5根支柱A₁B₁，A₂B₂，A₃B₃，A₄B₄，A₅B₅之间的距离均为15m，B₁B₅∥A₁A₅，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中
（1）直接写出图（2）中点B₁的坐标为

 

，B₃的坐标为

 

，B₅的坐标为

 

；
（2）求图（2）中抛物线的函数表达式是

 

；
（3）求图（1）中支柱A₂B₂的长度为

 

，A₄B₄的长度为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，不难得出A₁A₃=30m，因此OB₁=30，那么B₁的坐标就应该是（-30，0），同理可得出B₅的坐标，而根据拱高为30m即可得出OB₃=30，因此B₃的坐标是（0，30）．
（2）根据抛物线过B₁，B₃可用交点式的二次函数通式来设此抛物线的解析式，然后根据B₅的坐标来确定抛物线的解析式．
（3）由题意，不难得出A₄A₃=15m，那么B2的横坐标就是-15，可将其代入抛物线的解析式中求出B2的纵坐标，那么A₄B₄=B₄的纵坐标+（50-30），由此可求出A₄B₄的长，根据抛物线的对称形可得出A₂B₂=A₄B₄，由此可求出A₂B₂的长．

解答：解：（1）B₁（-30，0），B₃（0，30），B₅（30，0）；

（2）设抛物线的表达式为y=a（x-30）（x+30），
把B₃（0，30）代入得y=a（0-30）（0+30）=30．
∴a=-

1

30

．
∴所求抛物线的表达式为：y=-

1

30

（x-30）（x+30）．

（3）∵B₄点的横坐标为15，
∴B₄的纵坐标y₄=-

1

30

（15-30）（15+30）=

45

2

．
∵A₃B₃=50，拱高为30，
∴立柱A₄B₄=20+

45

2

=

85

2

（m）．
由对称性知：A₂B₂=A₄B₄=

85

2

（m）．

点评：本题结合实际问题考查了二次函数的应用，根据题中的信息确定B₁，B₃，B₅的值是解题的关键．