Question

如图，已知直线l₁∥l₂，线段AB在直线l₁上，BC垂直于l₁交l₂于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l₂、l₁于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．
（1）求证：△ABP≌△CBE；
（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2．
①当=2时，求证：AP⊥BD；
②当=n（n＞1）时，设△PAD的面积为S₁，△PCE的面积为S₂，求的值．

Answer 1

（1）证明见解析
?证明见解析
?n+1

解析试题分析：（1）由BC垂直于l₁可得∠ABP=∠CBE，由SAS即可证明；
（2）①延长AP交CE于点H，由（1）及已知条件可得AP⊥CE，△CPD∽△BPE，从而有DP=PE，得出四边形BDCE是平行四边形，从而可得到CE//BD，问题得证；
②由已知条件分别用S表示出△PAD和△PCE的面积，代入即可．
试题解析：（1）∵BC⊥直线l₁，
∴∠ABP=∠CBE，
在△ABP和△CBE中

∴△ABP≌△CBE（SAS）；
（2）①延长AP交CE于点H，

∵△ABP≌△CBE，
∴∠PAB=∠ECB，
∴∠PAB+∠AEE=∠ECB+∠AEH=90°，
∴AP⊥CE，
∵=2，即P为BC的中点，直线l₁//直线l₂，
∴△CPD∽△BPE，
∴==，
∴DP=PE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴CE//BD，
∵AP⊥CE，
∴AP⊥BD；
②∵=N
∴BC=n•BP，
∴CP=（n﹣1）•BP，
∵CD//BE，
∴△CPD∽△BPE，
∴==n﹣1，
即S₂=（n﹣1）S，
∵S_△PAB=S_△BCE=n•S，
∴S_△PAE=（n+1）•S，
∵==n﹣1，
∴S₁=（n+1）（n﹣1）•S，
∴==n+1．
考点：1、全等三角形的性质与判定；2、相似三角形的性质与判定；3、平行四边形的性质与判定