题目内容
(2009•凉山州)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式;
(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求点N的坐标.
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【答案】分析:(1)利用待定系数法,将点A,B的坐标代入解析式即可求得;
(2)根据旋转的知识可得:A(1,0),B(0,2),∴OA=1,OB=2,
可得旋转后C点的坐标为(3,1),当x=3时,由y=x2-3x+2得y=2,可知抛物线y=x2-3x+2过点(3,2)∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.∴平移后的抛物线解析式为:y=x2-3x+1;
(3)首先求得B1,D1的坐标,根据图形分别求得即可,要注意利用方程思想.
解答:解:(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2),
∴
,
解得
,
∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2;(2分)
(2)∵A(1,0),B(0,2),
∴OA=1,OB=2,
可得旋转后C点的坐标为(3,1),(3分)
当x=3时,由y=x2-3x+2得y=2,
可知抛物线y=x2-3x+2过点(3,2),
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.
∴平移后的抛物线解析式为:y=x2-3x+1;(5分)
(3)∵点N在y=x2-3x+1上,可设N点坐标为(x,x2-3x+1),
将y=x2-3x+1配方得y=(x-
)2-
,
∴其对称轴为直线x=
.(6分)
①0≤x≤
时,如图①,
∵
,
∴
∵x=1,
此时x2-3x+1=-1,
∴N点的坐标为(1,-1).(8分)
②当
时,如图②,
同理可得
,
∴x=3,
此时x2-3x+1=1,
∴点N的坐标为(3,1).
③当x<0时,由图可知,N点不存在,
∴舍去.
综上,点N的坐标为(1,-1)或(3,1).(10分)
点评:此题属于中考中的压轴题,难度较大,知识点考查的较多而且联系密切,需要学生认真审题.
此题考查了二次函数与一次函数的综合知识,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.
(2)根据旋转的知识可得:A(1,0),B(0,2),∴OA=1,OB=2,
可得旋转后C点的坐标为(3,1),当x=3时,由y=x2-3x+2得y=2,可知抛物线y=x2-3x+2过点(3,2)∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.∴平移后的抛物线解析式为:y=x2-3x+1;
(3)首先求得B1,D1的坐标,根据图形分别求得即可,要注意利用方程思想.
解答:解:(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2),
∴
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解得
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∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2;(2分)
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∴OA=1,OB=2,
可得旋转后C点的坐标为(3,1),(3分)
当x=3时,由y=x2-3x+2得y=2,
可知抛物线y=x2-3x+2过点(3,2),
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.
∴平移后的抛物线解析式为:y=x2-3x+1;(5分)
(3)∵点N在y=x2-3x+1上,可设N点坐标为(x,x2-3x+1),
将y=x2-3x+1配方得y=(x-
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∴其对称轴为直线x=
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①0≤x≤
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∵
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∴
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∵x=1,
此时x2-3x+1=-1,
∴N点的坐标为(1,-1).(8分)
②当
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同理可得
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∴x=3,
此时x2-3x+1=1,
∴点N的坐标为(3,1).
③当x<0时,由图可知,N点不存在,
∴舍去.
综上,点N的坐标为(1,-1)或(3,1).(10分)
点评:此题属于中考中的压轴题,难度较大,知识点考查的较多而且联系密切,需要学生认真审题.
此题考查了二次函数与一次函数的综合知识,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.
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