Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90^o，∠C＝60°，AD＝3cm，BC＝9cm．⊙O₁的圆心O₁从点A开始沿折线A—D—C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O₂的圆心O₂从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，⊙O₁半径为2cm，⊙O₂的半径为4cm，若O₁、O₂分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts。

小题1:（1）设经过t秒，⊙O₂与腰CD相切于点F，过点F画EF⊥DC，交AB于E，则EF=          。
小题2:（2）过E画EG∥BC，交DC于G，画GH⊥BC，垂足为H．则∠FEG=             。
小题3:（3）求此时t的值。
小题4:（4）在0＜t≤3范围内，当t为何值时，⊙O₁与⊙O₂外切？

Answer 1

小题1:（1）EF＝4cm．………………1分
小题2:（2）∠FEG =30⁰………………………2分
小题3:（3）设点O₂运动到点E处时，⊙O₂与腰CD相切．依题意画图，如图所示，
在直角△CGH中，∠C =60⁰，∠CG H=30⁰，GH=，    ∴CH=t，BH=GE=9－t………4分
在Rt△EFG中，∠FEG =30⁰，EF=4，GE=9－t
∴由勾股定理可得      EB＝GH＝cm．… 6分
所以t＝（）≈4.38秒．……7分
方法二，延长EA、FD交于点P．通过相似三角形，也可求出EB长．
方法三，连结ED、EC，根据面积关系，列出含有t的方程，直接求t．
不同解法可参照给分。
小题4:（4）由于0<t≤3，所以，点O₁在边AD上．...8分
如图所示，连结O₁O₂，由两圆外切可知O₁O₂＝6cm．…… 9分
由勾股定理得，，即．………………11分
解得t₁＝3，t₂＝6（不合题意，舍去）．……13分
所以，经过3秒，⊙O₁与⊙O₂外切．…………14分

略