Question

（1）方程x^y+1=z的质数解是

 

；
（2）方程

1

x

+

1

y

+

1

z

=a（其中a是整数x、y、z互不相等）的正整数解是

 

；
（3）方程

x

+

y

=

2009

的整数解是

 

．
（4）方程2^a+2^b+2^c+2^d=20.625的整数解是

 

．

Answer 1

分析：（1）分类讨论：若z为偶数，则因为z是质数，可得到z=2，则有x^y=1．这样在整数范围内必须x=1或y=0，但0、1均非质数，因此z不可能是偶数，只能是奇数；当z为奇数时，由x^y+1=z得x^y为偶数，由于奇数的任意次幂是奇数，故x必为偶数，但x是质数解，故x=2，此时方程为2^y+1=z，再讨论y的奇偶性即可得到y=2，从而求出z，即可得到所求方程的唯一质数解．
（2）由于x、y、z互不相等的正整数，故不妨设x＜y＜z，则x≥1，y≥2，z≥3，则

1

x

+

1

y

+

1

z

＜

1

1

+

1

2

+

1

2

=2，得到a=1；
由

1

x

＜

1

x

+

1

y

+

1

z

＜

3

x

，即

1

x

＜1＜

3

x

，得到1＜x＜3．从而得到x的值；再由方程

1

y

+

1

z

=

1

2

可推得

1

y

＜

1

y

+

1

z

＜

2

y

，即

1

y

＜

1

2

＜

2

y

，则可确定y的值；最后由

1

3

+

1

z

=

1

2

，得到z的值；由此得到原方程的正整数解．
（3）因为2009=7²×41，而41是质数，所以即求方程

x

+

y

=

2009

=7

41

的整数解，则

x

和

y

与

41

是同类二次根式，则求x、y，即求方程a

41

+b

41

=7

41

的解（其中a，b是正整数），即a+b=7．求出a，b即可通过

x

=a

41

，

y

=b

41

或

x

=b

41

，

y

=a

41

计算得到原方程的解．
（4）由于2^a＜20.625＜25，则a＜5，设d≤c≤b≤a，若a≤3，则b≤2，c≤1，d≤0，从而2^a+2^b+2^c+2^d≤2³+2²+2¹+2⁰＜20.625，所以a=4，若b=3时原方程不成立；若b=2，则根据题意得c=-1，d=-3，即得到原方程的解．

解答：解：（1）当z为偶数，
∵z是质数，
∴z=2，即x^y=1．
∴在整数范围内必须x=1或y=0，但0、1均非质数，
∴z不可能是偶数，只能是奇数．
当z为奇数时，
∵x^y+1=z，
∴x^y为偶数，而奇数的任意次幂是奇数，
∴x必为偶数，但x是质数解，
∴x=2，此时方程为2^y+1=z．
而当y为奇数时，2^y+1是3的倍数，不为质数，所以y只能是偶数，即y=2，这时z=2²+1=5．
所以x=2，y=2，z=5是所求方程的唯一质数解；

（2）∵x、y、z互不相等的正整数，
∴不妨设x＜y＜z，则x≥1，y≥2，z≥3，
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

＜

1

1

+

1

2

+

1

2

=2，
∴a=1．
又∵

1

x

＜

1

x

+

1

y

+

1

z

＜

3

x

，即

1

x

＜1＜

3

x

，
所以1＜x＜3．故x=2．
又∵方程

1

y

+

1

z

=

1

2

，
∴

1

y

＜

1

y

+

1

z

＜

2

y

，即

1

y

＜

1

2

＜

2

y

，故2＜y＜4，
∴y=3．
∴

1

3

+

1

z

=

1

2

，故z=6；
因此，方程的正整数解为x=2，y=3，z=6；

（3）∵2009=7²×41，而41是质数，
∴求方程

x

+

y

=

2009

=7

41

的整数解，则

x

和

y

与

41

是同类二次根式，
所以求x、y，即求方程a

41

+b

41

=7

41

的解（其中a，b是正整数），即a+b=7．
所以可取a=2，5，1，6，3，4；与a相对应的b=5，2，6，1，4，3．于是可求得原方程的解为：

x1=164 y1=1025 ， x2=1025 y2=164 ， x3=41 y3=1476 ， x4=1476 y4=41 ， x5=369 y5=656 ， x6=656 y6=369 ，

（4）∵2^a＜20.625＜25，
∴a＜5，设d≤c≤b≤a，若a≤3，则b≤2，c≤1，d≤0，从而2^a+2^b+2^c+2^d≤2³+2²+2¹+2⁰＜20.625，
所以a=4，若b=3时原方程不成立；若b=2，则根据题意得c=-1，d=-3，
所以原方程的解为a=4，b=2，c=-1，d=-3．
故答案为：x=2，y=2，z=5；所以可取a=2，5，1，6，3，4；

x1=164 y1=1025 ， x2=1025 y2=164 ， x3=41 y3=1476 ， x4=1476 y4=41 ， x5=369 y5=656 ， x6=656 y6=369 ，

；
a=4，b=2，c=-1，d=-3．

点评：本题考查了质数和最简二次根式的概念以及幂的意义．也考查了运用分类讨论的思想解决方程的整数解得问题．