题目内容
如图所示,抛物线y=-(x-m)2的顶点为A,直线l:y=3 |
3 |

(1)写出抛物线对称轴及顶点A的坐标;(用含有m的代数式表示)
(2)证明点A在直线l上,并求∠OAB的度数;
(3)动点Q在抛物线的对称轴上,在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P,使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB全等?若存在,求出m的值,并写出所有符合上述条件的P点坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据顶点式抛物线解析式即可得出抛物线的对称轴为x=m,顶点坐标A(m,0);
(2)将A点的坐标代入直线l的解析式中即可判定出点A是否在直线l上.
根据题意不难得出OA=m,OB=
m,据此可求出∠OAB的正切值,进而可求出∠OAB的度数;
(3)本题要分四种情况进行讨论:
①当∠AQP=90°,∠QAP=60°,m=3,P点的坐标为(3-3
,-3);
②当∠AQP=90°,∠QPA=60°,m=
,P点的坐标为(0,-3);
③当∠APQ=90°,∠AQP=60°,m=
,因此P点的坐标为(
,-
);
④当∠APQ=90°,∠QAP=60°,m=2,P点的坐标为(2-
,-3).
(2)将A点的坐标代入直线l的解析式中即可判定出点A是否在直线l上.
根据题意不难得出OA=m,OB=
3 |
(3)本题要分四种情况进行讨论:
①当∠AQP=90°,∠QAP=60°,m=3,P点的坐标为(3-3
3 |
②当∠AQP=90°,∠QPA=60°,m=
3 |
③当∠APQ=90°,∠AQP=60°,m=
2 |
3 |
2-
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3 |
1 |
3 |
④当∠APQ=90°,∠QAP=60°,m=2,P点的坐标为(2-
3 |
解答:解:(1)对称轴为直线x=m,顶点A(m,0);
(2)把x=m代入函数y=
x-
m,
得y=
m-
m=0
∴点A(m,0)在直线l上.
当x=0时,y=-
m
∴B(0,-
m),tan∠OAB=
∴∠OAB=60°;
(3)①当∠AQP=90°,∠QAP=60°,AQ=OA=m,PQ=OB=
m
,因此P点坐标为(m-
m,-m),
将P点的坐标代入抛物线的解析式可得m=
,
因此P点的坐标为(
,-
).
②当∠AQP=90°,∠QPA=60°,此时P,B重合,
因此P点坐标为(0,-
m),
代入抛物线解析式得m=
,因此P点的坐标为(0,-3).
③当∠APQ=90°,∠QAP=60°,PA=m,过P作PC⊥AQ于C,
那么PC=AP•sin60°=
m,AC=
m,
因此P点的坐标为(m-
m,-
m).
代入抛物线得m=
,因此P点的坐标为(
,-
);
④当∠APQ=90°,∠AQP=60°,PA=OB=
m,
过P作PD⊥AQ于D,
那么PD=AP•sin30°=
m,AD=
m,
因此P点的坐标为(m-
m,-
m),
代入抛物线得m=2,
因此P点的坐标为(2-
,-3).
(2)把x=m代入函数y=
3 |
3 |
得y=
3 |
3 |
∴点A(m,0)在直线l上.
当x=0时,y=-
3 |
∴B(0,-
3 |
3 |
∴∠OAB=60°;
(3)①当∠AQP=90°,∠QAP=60°,AQ=OA=m,PQ=OB=
3 |
,因此P点坐标为(m-
3 |
将P点的坐标代入抛物线的解析式可得m=
1 |
3 |
因此P点的坐标为(
1-
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3 |
1 |
3 |
②当∠AQP=90°,∠QPA=60°,此时P,B重合,
因此P点坐标为(0,-
3 |

代入抛物线解析式得m=
3 |
③当∠APQ=90°,∠QAP=60°,PA=m,过P作PC⊥AQ于C,
那么PC=AP•sin60°=
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1 |
2 |
因此P点的坐标为(m-
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2 |
1 |
2 |
代入抛物线得m=
2 |
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2-
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3 |
1 |
3 |
④当∠APQ=90°,∠AQP=60°,PA=OB=
3 |
过P作PD⊥AQ于D,

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2 |
3 |
2 |
因此P点的坐标为(m-
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2 |
3 |
2 |
代入抛物线得m=2,
因此P点的坐标为(2-
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点评:本题考查了二次函数的性质及全等三角形的判定等知识点,(3)在不确定全等三角形的对应角和对应边的情况下要分类讨论.

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