题目内容
【题目】已知:如图,选段AB=4,以AB为直径作半圆O,点C为弧AB的中点,点P为直径AB上一点,联结PC,过点C作CD∥AB,且CD=PC,过点D作DE∥PC,交射线PB于点E,PD与CE相交于点Q.
(1)若点P与点A重合,求BE的长;
(2)设PC=x, =y,当点P在线段AO上时,求y与x的函数关系式及定义域;
(3)当点Q在半圆O上时,求PC的长.
【答案】
(1)解:如图1中,连接OC.
∵ =
,
∴CO⊥AB,△AOC是等腰直角三角形,AC= OC=2
,
∵四边形ACDE是菱形,
∴AE=AC=2 ,
∴BE=AB﹣AE=4﹣2
(2)解:如图2中,
∵PC=x,OC=2,
∴OP= ,OE=x﹣
,
∵四边形PCDE是菱形,
∴PD⊥EC,CQ=QE,PQ=QD,
∵ =
=y,
∴tan∠PEQ= =
,
∴y= (2≤x≤2
)
(3)解:如图3中,
∵点Q在⊙O上,∠CQP=90°,
∴∠CQP所以对的弦CM是直径,
∵∠M+∠OPM=90°,∠QPE+∠QEP=90°,∠OPM=∠QPE,
∴∠M=∠QEP,易知∠PCM=∠M,∠PCQ=∠PEQ,
∴∠PCO=∠PCQ=∠CEO=30°,
在Rt△POC中,PC=OC÷cos30°=
【解析】(1)如图1中,连接OC.只要证明△AOC是等腰直角三角形即可.(2)由PC=x,OC=2,可得OP= ,OE=x﹣
,由四边形PCDE是菱形,推出PD⊥EC,CQ=QE,PQ=QD,由
=
=y,推出tan∠PEQ=
=
,由此即可解决问题.(3)由点Q在⊙O上,∠CQP=90°,推出∠CQP所以对的弦CM是直径,由∠M+∠OPM=90°,∠QPE+∠QEP=90°,∠OPM=∠QPE,推出∠M=∠QEP,易知∠PCM=∠M,∠PCQ=∠PEQ,推出∠PCO=∠PCQ=∠CEO=30°,由此即可解决问题.
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