题目内容
如图,已知:在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,AB=BC,又AE⊥BC于E
(1)求证:AD=AE;
(2)若∠B=60°,AD=3,求AC的长.
(1)求证:AD=AE;
(2)若∠B=60°,AD=3,求AC的长.
分析:(1)首先过点C作CF⊥AB于点F,可得四边形ADCF是矩形,则可得CF=AD,易证得△ABE≌△CBF,即可得AE=CF,即可证得AD=AE;
(2)由AE=AD=3,在Rt△ABE中,∠B=60°,利用三角函数的知识即可求得BE,AB的长,继而求得CE的长,即可得AE是BC的垂直平分线,则可求得AC=AB.
(2)由AE=AD=3,在Rt△ABE中,∠B=60°,利用三角函数的知识即可求得BE,AB的长,继而求得CE的长,即可得AE是BC的垂直平分线,则可求得AC=AB.
解答:(1)证明:过点C作CF⊥AB于点F,
∵在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,
∴四边形ADCF是矩形,
∴CF=AD,
在△ABE和△CBF中,
∵
,
∴△ABE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,
∴AD=AE;
(2)解:连接AC,
∵AE=AD=3,
在Rt△ABE中,∠B=60°,
∴AB=
=2
,BE=
=
,
∵BC=AB=2
,
∴CE=BE=
,
∵AE⊥BC,
∴AC=AB=2
.
∵在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,
∴四边形ADCF是矩形,
∴CF=AD,
在△ABE和△CBF中,
∵
|
∴△ABE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,
∴AD=AE;
(2)解:连接AC,
∵AE=AD=3,
在Rt△ABE中,∠B=60°,
∴AB=
AE |
cos60° |
3 |
AE |
tan60° |
3 |
∵BC=AB=2
3 |
∴CE=BE=
3 |
∵AE⊥BC,
∴AC=AB=2
3 |
点评:此题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
练习册系列答案
相关题目