题目内容
（2013•宜兴市一模）如图1，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x．
（1）CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度．
（2）△PBC的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时的x的值；若不存在，请说明理由．
（3）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．
（4）如图2，当以C为圆心，以CP为半径的圆与线段AB有公共点时，求x的值．
（1）CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度．
（2）△PBC的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时的x的值；若不存在，请说明理由．
（3）当x取何值时，△ABP和△CDP相似．
（4）如图2，当以C为圆心，以CP为半径的圆与线段AB有公共点时，求x的值．
分析：（1）如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．根据等腰△QPC“三合一”的性质证得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的对应边成比例得到
=
=
，则CD=2AB；
（2）如图2，过点B作BF⊥PC，垂足为F．证BF=BA=4．因为CP≥CD，所以CP最小值为8，得出△PBC面积的最小值，此时△BAP是等腰直角三角形，AP=AB=4，进而得出答案；
（3）当△BAP∽△CDP时，易得∠BPA=60°，x=AP=
=
，当△BAP∽△PDC时，易得∠BPA=30°，AP=
=4
，求出x的值即可；
（4）根据当点A在⊙C上时，由（1）及垂径定理得：AE=AD=DP=
x，进而得出x的取值范围．
| AB |
| CD |
| QB |
| QC |
| 1 |
| 2 |
（2）如图2，过点B作BF⊥PC，垂足为F．证BF=BA=4．因为CP≥CD，所以CP最小值为8，得出△PBC面积的最小值，此时△BAP是等腰直角三角形，AP=AB=4，进而得出答案；
（3）当△BAP∽△CDP时，易得∠BPA=60°，x=AP=
| BA |
| tan60° |
4
| ||
| 3 |
| BA |
| tan300 |
| 3 |
（4）根据当点A在⊙C上时，由（1）及垂径定理得：AE=AD=DP=
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）CD的长度不变化．
理由如下：
如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴
=
=
∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8
（2）如图2，过点B作BF⊥PC，垂足为F．
∵∠BPC=∠BPA，BA⊥MN，
∴BF=BA=4．
∵CP≥CD，∴CP≥8，即CP最小值为8，
∴△PBC面积的最小值=
×8×4=16，
此时△BAP是等腰三角形，AP=AB=4，即x=4；
（3）当△BAP∽△CDP时，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP=
=
，
即x=
，
如图3，当△BAP∽△PDC时，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP=
=4
，
即x=4
，
所以当x=
或4
时，△ABP和△CDP相似；
（4）如图4，延长CB和PA相交于点E，
当点A在⊙C上时，由（1）及垂径定理得：
AE=AD=DP=
x，
由△ABE∽△APB得，AB2=AE•AP，
所以
x2=16，即x=4
，
所以x的取值范围是0＜x≤4
．
解：（1）CD的长度不变化．理由如下：
如图1，延长CB和PA，记交点为点Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴
| AB |
| CD |
| QB |
| QC |
| 1 |
| 2 |
∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8
（2）如图2，过点B作BF⊥PC，垂足为F．
∵∠BPC=∠BPA，BA⊥MN，
∴BF=BA=4．
∵CP≥CD，∴CP≥8，即CP最小值为8，
∴△PBC面积的最小值=
| 1 |
| 2 |
此时△BAP是等腰三角形，AP=AB=4，即x=4；
（3）当△BAP∽△CDP时，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP=
| BA |
| tan60° |
4
| ||
| 3 |
即x=
4
| ||
| 3 |
如图3，当△BAP∽△PDC时，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP=
| BA |
| tan300 |
| 3 |
即x=4
| 3 |
所以当x=
4
| ||
| 3 |
| 3 |
（4）如图4，延长CB和PA相交于点E，
当点A在⊙C上时，由（1）及垂径定理得：
AE=AD=DP=
| 1 |
| 2 |
由△ABE∽△APB得，AB2=AE•AP，
所以
| 1 |
| 2 |
| 2 |
所以x的取值范围是0＜x≤4
| 2 |
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系等知识，熟练利用相似三角形的性质得出线段之间的关系是解题关键．
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