Question

（2003•吉林）关于图形变化的探讨：
（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF．
②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C₁、C₂，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC₁=C₂F．
③把直线1继续向上平行移动，使弦C₁C₂与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论______．证明结论成立或说明不成立的理由
（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM²=PC²．
②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论______．证明结论成立或说明不成立的理由：
（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律______．

Answer 1

【答案】分析：（1）过O作OM⊥C₁C₂于M，则AE∥OM∥BF，根据平行截割定理，得EM=MF，由垂直弦的半径平分弦，最后的出结论．
（2）连接ON，由题的条件可得出∠NMP+∠B=∠BMC₃+∠B，进而求出PM=PN，由切割线定理即可得出结论．
（3）总结（1）和（2），可以知道结论不变．
解答：解：（1）结论为EC₁=C₂F．
证明：过O作OM⊥C₁C₂于M，
则AE∥OM∥BF，
∵AO=OB，根据平行截割定理，得EM=MF，
又∵C₁O=OC₂，
∴EC1=C2F；

（2）结论为PM²=PC₁•PC₂．
证明：连接ON，
∵PN是切线，O是圆心，
∴∠MNP+∠ONB=90°．
又∠ONB=∠B，BC⊥l，
∴∠NMP+∠B=∠BMC₃+∠B=90°，
∴∠MNP=∠NMP，
∴PM=PN．
由PM=PN，
由切割线定理得
PN²=PC₁•PC₂，
∴PM²=PC₁•PC₂．

（3）在某些几何图形中，平行移动某条直线，有些几何关系保持不变．
点评：本题考查的知识面很广，涉及切线的性质，切割线定理，要仔细审题．