题目内容

所谓配方法其实就是逆用完全平方公式,即a2±2ab+b2=(a±b)2.该方法在数、式、方程等多方面应用非常广泛,如3+2
2
=12+2
2
+(
2
2;x2+2x+5=x2+2x+1+4=(x+1)2+4等等.请你用配方法解决以下问题:
(1)解方程:x2=5+2
6
;(不能出现形如
5+2
6
的双重二次根式)
(2)若a2+4b2+c2-2a-8b+10c+30=0,解关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0;
(3)求证:不论m为何值,解关于x的一元二次方程x2+(m-1)x+m-3=0总有两个不等实数根.
分析:(1)先把5+2
6
变形为(
2
+
3
2,即可求出x的值;
(2)根据a2+4b2+c2-2a-8b+10c+30=0,得出(a-1)2+(2b-2)2+(c+5)2=0,即可求出a=1,b=1,c=-5,再代入ax2-bx+c=0即可求出答案;
(3)根据△=(m-1)2-4(m-3)=m2-6m+13=(m-3)2+4>0,即可得出一元二次方程x2+(m-1)x+m-3=0总有两个不等实数根.
解答:解:(1)x2=5+2
6

x2=(
2
+
3
2
x=±(
2
+
3
);

(2)a2+4b2+c2-2a-8b+10c+30=0,
(a-1)2+(2b-2)2+(c+5)2=0,
从而有a-1=0,2b-2=0,c+5=0,
即a=1,b=1,c=-5,
∵ax2-bx+c=0,
∴x2-x-5=0
∴x=
21
2


(3)∵△=(m-1)2-4(m-3)=m2-6m+13=(m-3)2+4>0,
∴x2+(m-1)x+m-3=0总有两个不等实数根.
点评:本题考查了配方法的应用;解题的关键是根据完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2进行配方.
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