题目内容

如图是王老师休假钓鱼时的一张照片，鱼杆前部分近似呈抛物线的形状，后部分呈直线形．已知抛物线上关于对称轴对称的两点B，C之间的距离为2米，顶点O离水面的高度为2
2
3
米，人握的鱼杆底端D离水面1
1
3
米，离拐点C的水平距离1米，且仰角为45°，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）试根据上述信息确定抛物线BOC和CD所在直线的函数表达式；
（2）当继续向上拉鱼使其刚好露出水面时，钓杆的倾斜角增大了15°，直线部分的长度变成了1米（即ED长为1米），顶点向上增高
2
3
米，且右移
1
2
米（即顶点变为F），假设钓鱼线与人手（点D）的水平距离为2
1
4
米，那么钓鱼线的长度为多少米？
分析：（1）先设抛物线BOC的函数表达式为y=ax2．有C的坐标求出a的值即可得到抛物线的解析式；设直线CD的函数表达式为y=kx+b，由C，D点的坐标求出k和b的值即可求出直线的函数表达式；
（2）由已知条件求出E和F的坐标，设这时抛物线的函数表达式为y=m(x-
1
2
)2+
2
3
，又由已知A点的横坐标为-
1
4
，再把横坐标代入求出的函数关系式求出此时的纵坐标即可求出钓鱼线的长度为多少米．
解答：解：（1）由已知，得C(1，-
1
3
)．
设抛物线BOC的函数表达式为y=ax2．
则a=-
1
3
，所以y=-
1
3
x2．
(1，-
1
3
)，(2，-1
1
3
)
得
k+b=-
1
3
2k+b=-
4
3
.

解得k=-1，b=
2
3
．
所以y=-x+
2
3
；

（2）由已知，得E(
3
2
，
3
2
-
4
3
)，F(
1
2
，
2
3
)．
设这时抛物线的函数表达式为y=m(x-
1
2
)2+
2
3
．
则m(
3
2
-
1
2
)2+
2
3
=
3
2
-
4
3
．
所以m=
3
2
-2．
所以y=(
3
2
-2)(x-
1
2
)2+
2
3
，
又由已知A点的横坐标为-
1
4
，得A(-
1
4
，
27
3
-44
96
)．
所以钓鱼线的最小长度为
27
3
+212
96
米．
点评：本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，解决这类题目是恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
练习册系列答案
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如图是王老师休假钓鱼时的一张照片，鱼杆前部分近似呈抛物线的形状，后部分呈直线形．已知抛物线上关于对称轴对称的两点B，C之间的距离为2米，顶点O离水面的高度为米，人握的鱼杆底端D离水面米，离拐点C的水平距离1米，且仰角为45°，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）试根据上述信息确定抛物线BOC和CD所在直线的函数表达式；
（2）当继续向上拉鱼使其刚好露出水面时，钓杆的倾斜角增大了15°，直线部分的长度变成了1米（即ED长为1米），顶点向上增高米，且右移米（即顶点变为F），假设钓鱼线与人手（点D）的水平距离为米，那么钓鱼线的长度为多少米？

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