题目内容

阅读下面的材料:
如果关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则x1=
-b+
b2-4ac
2a
x2=
-b-
b2-4ac
2a

x1+x2=
-2b
2a
=-
b
a
x1x2=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
4ac
4a2
=
c
a

综合得:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=-
b
a
x1x2=
c
a

请利用这一结论解决问题:
(1)方程x2+bx+c=0的两根为-1和3,求b与c的值;
(2)设方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2,求
1
x1
+
1
x2
以及2x12+2x22的值.
分析:(1)根据两根之和等于-b,两根之积等于c求解;
(2)应把所求的代数式整理为和根与系数的关系有关的式子求解.
解答:解:(1)∵-1+3=-b,(-1)×3=c,
∴b=-2,c=-3;

(2)∵x1+x2=
3
2
x1x2=
1
2

1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
=
3
2
1
2
=3

2x12+2x22=2(x12+x22)=2[(x1+x22-2x1x2]
=2[(
3
2
)
2
-2×
1
2
]=2(
9
4
-1)=
9
2
-2=
5
2
点评:本题是一个阅读型的题目,解题时关键是读懂题意,理解已知中叙述的方程的解与方程的根之间的关系.解决(2)时,关键是把所求的代数式整理成用两根的和与两根的积表示的形式.
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