题目内容
（2009•兖州市模拟）对于题目“如图1，在一个直角三角形的内部作矩形ABCD，其中AB和AD在两直角边上，设AB=x cm，矩形ABCD的面积为ycm2，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？”（答案是当x=20时，y的值最大，最大值是300）．小华同学提出了如下两个问题，你能帮助他解决吗？如果按图2使矩形的一边BC在斜边EF上，如何解答此时求出来的最大值仍是300cm2吗？你能肯定图1和图2中的两个面积最大的矩形全等吗？请说明理由．
【答案】分析：①已知了AB=x，可在Rt△ABE中，用AB的长和∠E的正弦值求出AE的长，进而可表示出AC的长，同理可在Rt△AOD中，用AO的长和∠E的余弦函数求出AD的长，进而可根据矩形的面积公式得出y、x的函数关系式，根据函数的性质即可求出S的最大值为300，以及此时x的值．（也可用相似三角形来求AD的长，方法不唯一）．
②先根据①和②函数求出矩形各自的长和宽，然后比较即可．
解答：解：如图2：设AB=xcm，矩形ABCD的面积为ycm2
在Rt△OEF中，sin∠E=
，
∵AB=x，∴AE=AB÷sin∠E=
x，
AO=40-AE=40-
x，
AD=AO÷cos∠DAO=AO÷cos∠E=
（40-
x）=50-
x，
∴y=AD×AB=（50-
x）x，即y=-
x2+50x
配方整理，得y=-
（x-12）2+300，
当x=12cm时，y最大=300cm2
此时矩形ABCD的长BC=25cm，显然图①和图②中的矩形ABCD的面积为300cm2，
由于图①中的矩形的长和宽分别为15cm、20cm，图②中的矩形的长和宽分别为25cm、12cm，
所以图①和图②中的矩形不全等．
点评：本题是二次函数综合题，考查了图象面积的求法，矩形的性质等知识点．
②先根据①和②函数求出矩形各自的长和宽，然后比较即可．
解答：解：如图2：设AB=xcm，矩形ABCD的面积为ycm2
在Rt△OEF中，sin∠E=
，∵AB=x，∴AE=AB÷sin∠E=
x，AO=40-AE=40-
x，AD=AO÷cos∠DAO=AO÷cos∠E=
（40-x）=50-x，∴y=AD×AB=（50-
x）x，即y=-x2+50x配方整理，得y=-
（x-12）2+300，当x=12cm时，y最大=300cm2
此时矩形ABCD的长BC=25cm，显然图①和图②中的矩形ABCD的面积为300cm2，
由于图①中的矩形的长和宽分别为15cm、20cm，图②中的矩形的长和宽分别为25cm、12cm，
所以图①和图②中的矩形不全等．
点评：本题是二次函数综合题，考查了图象面积的求法，矩形的性质等知识点．
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，并把解集在数轴上表示出来．
