题目内容

如图，矩形OBAC的两边OC、OB在坐标轴上，另两边AB、AC分别与双曲线 $数学公式$ （k＞0）交于F、E两点，且A点坐标为（4，3），S_△OEF= $数学公式$ ，则k=________．

4
分析：过E作EM垂直于x轴，由A的坐标确定出OC与OB的长，设E（a，3），F（4，n），三角形OEF的面积=矩形OCEM的面积+梯形FBME的面积-三角形OCE的面积-三角形OBF的面积，分别利用面积公式表示出各自的面积，将已知三角形OEF的面积代入，整理后得到an= $\text{[math]}$ ，再由E与F都为反比例函数图象上的点，将设出的两点分别入反比例解析式中，得到a与n的关系式，用a表示出n，代入an= $\text{[math]}$ 中，求出n的值，即可确定出k的值．
解答：

解：过E作EM⊥x轴，交x轴于点M，如图所示，
∵A（4，3），
∴OC=AB=3，AC=OB=4，
故设E（a，3）（a＞0），F（4，n）（n＞0），
可得CE=a，BF=n，
∵E和F在反比例函数y= $\text{[math]}$ （k＞0）上，
∴3= $\text{[math]}$ ，n= $\text{[math]}$ ，即3a=4n=k，
∴S_△OCE= $\text{[math]}$ OC•CE= $\text{[math]}$ ×3a= $\text{[math]}$ a，S_△OBF= $\text{[math]}$ OB•BF= $\text{[math]}$ ×4n=2n，S_矩形OCEM=3a=k，S_梯形EFBM= $\text{[math]}$ （3+n）（4-a），
∵S_△OEF= $\text{[math]}$ ，
∴S_矩形OCEM+S_梯形EFBM-S_△OBF-S_△OCE= $\text{[math]}$ ，即3a+ $\text{[math]}$ （3+n）（4-a）- $\text{[math]}$ a-2n= $\text{[math]}$ ，
整理得：an= $\text{[math]}$ ，又3a=4n，即a= $\text{[math]}$ n，
∴ $\text{[math]}$ n²= $\text{[math]}$ ，即n²=1，
解得：n=1，
则k=4n=4．
故答案为：4．
点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，矩形的性质，矩形、梯形的面积公式，以及反比例函数k的几何意义，是中考中常考的题型．