Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，AB=5，在AB边上有一点P，过点P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN⊥AC，垂足为N，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q．当PQ=1时，BP=_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】由题意可知P点可能靠近B点，也可能靠近A点，所以需要分为两种情况：设BM=x，AQ=y，

若P靠近B点，由题意可得∠BPM=30°，根据直角三角形的性质可得BP=2BM=2x，AN=2y，CM=2CN=10-4y，再根据AB=BC=5，PQ=1，列方程组，解出x、y即可求得BP的长；

若点P靠近A点，同理可得，求解即可.

设BM=x，AQ=y，

若P靠近B点，如图

∵等边△ABC，

∴AB=BC=AC=5，∠A=∠B=∠C=60°

∵PM⊥BC

∴∠BMP=90°

则Rt△BMP中，∠BPM=30°，

∴BM=BP

则BP=2x

同理AN=2y，

则CN=5-2y

在Rt△BCM中，CM=2CN=10-4y

∵AB=BC=5，PQ=1

∴

解得

∴BP=2x=；

若点P靠近A点，如图

由上面的解答可得BP=2x，AQ=y，CM=10-4y

∴

解得

∴BP=2x=

综上可得BP的长为：或.