Question

【题目】已知：Rt△ABC的直角顶点C，另一顶点A及斜边AB的中点D都在⊙O上，BC交⊙O于E．

（1）如图1，若AC=CE，求∠B的度数；

（2）如图2，若AC=6，BC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）22.5°（2）

【解析】

试题分析：（1）作辅助线，根据等腰直角三角形的性质得：∠CEA=45°，利用同弧所对的圆周角相等得：∠ADC=45°，运用外角定理得出∠B的度数；

（2）作辅助线，构建相似三角形，证明△BDE∽△BCA，列比例式求出DE的长，最后利用勾股定理求直径AE，则半径为．

试题解析：（1）如图1，连接AE、DC，

∵∠ECA=90°，且E、C、A三点都在⊙O上，

∴AE是⊙O的直径，

∵EC=AC，

∴∠CEA=45°，

∵D是斜边AB的中点，

∴BD=DC，

∴∠B=∠BCD，

∵∠ADC=∠AEC=∠B+∠BCD=45°，

∴∠B=45°÷2=22.5°；

（2）如图2，连接DE、AE、CD，

由（1）得：AE是⊙O的直径，

∴∠ADE=90°，

∵∠EBD=∠ABC，∠BDE=∠BCA=90°，

∴△BDE∽△BCA，

∴，

∵D是斜边AB的中点，

∴BD=AD，

由勾股定理得：AB==10，

∴BD=AD=AB=5，

∴，

∴DE=，

∴AE==，

∴OE=AE=，

则⊙O的半径为．