Question

操作示例
如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S_△ABD=S_△ADC．
实践探究
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S_阴和S_矩形ABCD之间满足的关系式为

 

（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S_阴和S_{平行四边形ABCD}之间满足的关系式为

 

；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S_阴和S_{四边形ABCD}之间满足的关系式为

 

；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S₁+S₂+S₃+S₄=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得S_阴和S_矩形ABCD即可．
（2）利用E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求则S_阴和S_{平行四边形ABCD}即可．
（3）利用E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得则S_阴和S_{四边形ABCD}即可．
（4）先设空白处面积分别为：x、y、m、n由上得S四边形BEDF=

1

2

S四边形ABCD，S四边形AHCG=

1

2

S四边形ABCD，分别求得S₁、S₂、S₃、S₄．然后S₁+S₂+S₃+S₄=S_阴即可．

解答：解：（1）由E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，
得S_阴=BF•CD=

1

2

BC•CD，
S_矩形ABCD=BC•CD，
所以S阴=

1

2

S矩形ABCD；
（2）同理可得；S阴=

1

2

S平行四边形ABCD；
（3）同理可得；S阴=

1

2

S四边形ABCD；
（4）设空白处面积分别为：x、y、m、n（见右图），
由上得S四边形BEDF=

1

2

S四边形ABCD，S四边形AHCG=

1

2

S四边形ABCD，
∴S₁+x+S₂+S₃+y+S₄=

1

2

S四边形ABCD．S₁+m+S₄+S₂+n+S₃=

1

2

S四边形ABCD，
∴（S₁+x+S₂+S₃+y+S₄）+（S₁+m+S₄+S₂+n+S₃）=S_{四边形ABCD}．
∴（S₁+x+S₂+S₃+y+S₄）+（S₁+m+S₄+S₂+n+S₃）=S₁+x+S₂+n+S₃+y+S₄+m+S_阴
∴S₁+S₂+S₃+S₄=S_阴=20．
故答案分别为：（1）S阴=

1

2

S矩形ABCD；
（2）S阴=

1

2

S平行四边形ABCD；
（3）S阴=

1

2

S四边形ABCD；
（4）20．

点评：此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，难点是（4）需要分别求得S₁、S₂、S₃、S₄．然后S₁+S₂+S₃+S₄=S_阴即可，这是此题的突破点．