题目内容

已知如下图所示,在等边△ABC和等边△ADE中,点B、A、D在一条直线上,BE、CD交于F.
(1)求证:△BAE≌△CAD.
(2)求∠BFC的大小.
(3)在图1的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,此时BE交CD的延长线于点F,其他条件不变,得到图2所示的图形,请直接写出(1)、(2)中结论是否仍然成立.
分析:(1)首先由于AB=AC,AD=AE,∠BAE=∠CAD=120°,可以证明△BAE≌△CAD,(2)根据(1)推出的结论即可推出∠ADC=∠AEB,根据外角的性质,即得∠BFC=∠ABE+∠ADC=∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°,(3)成立,由AE=AD,AC=AB,∠BAE=∠CAD=60°,即可推出△BAE≌△CAD,即得∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB=180°-60°=120°,即可推出∠BFC=180°-(∠ABE+∠BDF)=60°.
解答:解:(1)∵等边△ABC和等边△ADE,
∴AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD=60°,
∴∠CAE=60°,
∠BAE=∠CAD=120°,
∴△BAE≌△CAD,

(2)∵△BAE≌△CAD,
∴∠ADC=∠AEB,
∵∠BFC=∠ABE+∠ADC,
∴∠BFC=∠ABE+∠AEB,
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE,∠BAE=120°,
∴∠BFC=60°,
(3)成立,
∵等边△ABC和等边△ADE,
∴AE=AD,AC=AB,∠BAE=∠CAD=60°,
∴△BAE≌△CAD,
∵∠CDA=∠AEB,
∴∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB,
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=180°-60°=120°,
∴∠ABE+∠BDF=120°,
∠BFC=180°-(∠ABE+∠BDF)=60°.
点评:本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质,三角形内角和定理,关键在于根据已知条件推出△BAE≌△CAD,熟练运用外角的性质、内角和定理等知识点.
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