Question

如图，已知在⊙O中，CD过圆心O交⊙O于点P，作AB⊥CD，垂足为D，过点C任作一条弦CF交AB于点E．
（1）求证：CB²=CE•CF；
（2）连接BP，若BD：CD=2：3，求sin∠BPD的值．

Answer 1

分析：（1）连接AC、AF，根据已知条件，易证△ACE∽△FCA，所以

AC

CF

=

CE

AC

，即AC²=CE．CF．
（2）连接BP，因为BD：CD=2：3，设BD=2k，CD=3k，在Rt△BCD中，BC=

(2k)2+(3k)2

=

13

k，所以sin∠CBD=

3k

13 k

=

3 13

13

=sin∠BPD．

解答：（1）证明：连接AC、AF，
∵CD过圆心，且AB⊥CD，
∴AC=BC，
∴∠CAE=∠F，
又∵∠ACE=∠ACF，
∴△ACE∽△FCA，
∴

AC

CF

=

CE

AC

，
即AC²=CE．CF，
∴CB²=CE．CF；

（2）解：连接BP，
∵CP是⊙O直径，
∴∠CBP=90°，
∵BD⊥CP，
∴∠BPD=∠CBD，
∵BD：CD=2：3，
设BD=2k，CD=3k，
在Rt△BCD中，BC=

(2k)2+(3k)2

=

13

k，
∴sin∠CBD=

3k

13 k

=

3 13

13

=sin∠BPD．

点评：本题主要考查了三角形的相似的判定和性质，题目典型，是一个大综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．