题目内容

【题目】如图,在四边形中,分别在上,且相交于点相交于点

1)求证:四边形为矩形;

2)判断四边形是什么特殊四边形?并说明理由;

3)求四边形的面积.

【答案】1)见解析;(2)四边形EFPH为矩形,理由见解析;(3

【解析】

1)由平行线的性质证出∠BCD=90°即可;

2)根据矩形性质得出CD=2,根据勾股定理求出CEBE,求出CE2+BE2的值,求出BC2,根据勾股定理的逆定理求出∠BEC=90°,根据矩形的性质和平行四边形的判定,推出平行四边形DEBPAECP,推出EH//FPEF//HP,推出平行四边形EFPH,根据矩形的判定推出即可;

3)根据三角形的面积公式求出CF,求出EF,根据勾股定理求出PF,根据面积公式求出即可.

1)证明:∵AB//CD

∴∠CBA+∠BCD=180°

∵∠CBA=∠ADC=90°

∴∠BCD=90°

四边形ABCD是矩形;

2)解:四边形EFPH为矩形;理由如下:

四边形ABCD是矩形,

∴AD=BC=5AB=CD=2AD∥BC

由勾股定理得:CE=

同理BE=2

∴CE2+BE2=5+20=25

∵BC2=52=25

∴BE2+CE2=BC2

∴∠BEC=90°

∴△BEC是直角三角形.

∵DE=BPDE//BP

四边形DEBP是平行四边形,

∴BE//DP

∵AD=BCAD//BCDE=BP

∴AE=CP

四边形AECP是平行四边形,

∴AP//CE

四边形EFPH是平行四边形,

∵∠BEC=90°

平行四边形EFPH是矩形.

3)解:四边形AECP是平行四边形,

∴PD=BE=2

Rt△PCD中,FC⊥PDPC=BC-BP=4

由三角形的面积公式得:PDCF=PCCD

∴CF=

∴EF=CE-CF=

∵PF=

∴S矩形EFPH=EFPF=

即:四边形EFPH的面积是

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