Question

【题目】据图解答

（1）如图1，在菱形ABCD中，CE=CF，求证：AE=AF．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D

∵CE=CF，

∴BE=DF

在△ABE与△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF．

∴AE=AF；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，

∴∠PAO=90°．

又∵∠OPA=40°，

∴∠POA=50°，

∴∠ABC= ∠POA=25°

【解析】（1）根据菱形的性质，利用SAS判定△ABE≌△ADF，从而求得AE=AF；（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．同时考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．
【考点精析】关于本题考查的菱形的性质和切线的性质定理，需要了解菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案．