题目内容
对于x的二次三项式ax2+bx+c(a>0).
(1)当c<0时,求函数y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值;
(2)若不论k为任何实数,直线y=k(x-1)-
与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点,求a,b,c的值.
(1)当c<0时,求函数y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值;
(2)若不论k为任何实数,直线y=k(x-1)-
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分析:(1)首先设y1=ax2+bx+c,由a>0,c<0,可得△>0,即可得|ax2+bx+c|≥0,继而求得函数y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值;
(2)由直线y=k(x-1)-
与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点,可得ax2+(b-k)x+
+k+c=0有相等的实数解,可得判别式△=0,又由不论k为任何实数,直线y=k(x-1)-
与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点,即可得方程组
,继而求得a,b,c的值.
(2)由直线y=k(x-1)-
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解答:解:(1)设,y1=ax2+bx+c,
∵a>0,c<0,
∴△=b2-4ac>0,
∴y1=ax2+bx+c与x轴有两个交点,
∴|ax2+bx+c|的最小值为0,
∴y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值是-1.
(2)∵直线y=k(x-1)-
与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点,
∴方程组:
只有一组解,
∴ax2+(b-k)x+
+k+c=0有相等的实数解,
∴△=0,
∴(1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0
∵对于k为任何实数,上式恒成立,
∴
,
∴a=1,b=-2,c=1.
∵a>0,c<0,
∴△=b2-4ac>0,
∴y1=ax2+bx+c与x轴有两个交点,
∴|ax2+bx+c|的最小值为0,
∴y=-2|ax2+bx+c|-1的最大值是-1.
(2)∵直线y=k(x-1)-
k2 |
4 |
∴方程组:
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∴ax2+(b-k)x+
k2 |
4 |
∴△=0,
∴(1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0
∵对于k为任何实数,上式恒成立,
∴
|
∴a=1,b=-2,c=1.
点评:此题考查了二次函数的性质、一元二次方程根的情况、判别式的知识以及方程组的解法等知识.此题综合性较强,难度较大,注意把函数交点问题转化成一元二次方程根的问题是解此题的关键.
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