Question

如图，有一块三角形土地，它的底边BC长为100米，高AH长为80米．某单位要沿着边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上，E、F在BC边上，AH与DG交于点M．设大楼的一边DE长为x米．
（1）求DG的长（用含x的代数式表示）；
（2）当DE=DG时，求x的值；
（3）若矩形DEFG的面积为1 600平方米，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）两三角形相似，对应高之比等于相似比．利用此性质即可解答．
（2）利用正方形的性质代入x求解即可；
（3）利用DG×DE=1600进而得出DE的长即可．

解答：解：（1）∵DG∥BC
∴△ADG∽△ABC
它们的对应高线比等于对应线段的比，
即

AM

AH

=

DG

BC

设DG=ym，DE=xm，那么AM=80-x，
∴

80-x

80

=

y

100

，
∴y=-

5

4

x+100；

（2）当DE=DG时即x=y时，
x=-

5

4

x+100，
解得：x=

400

9

∴DE=

400

9

，DG=

400

9

，
∴正方形DEFG的面积为

160000

81

m²．

（3）∵矩形DEFG的面积为1 600平方米，
即xy=1600，
故x（-

5

4

x+100）=1600，
解得：x₁=40+8

5

，x₂=40-8

5

，
答：矩形DEFG的面积为1 600平方米，DE的长为40±8

5

m．

点评：此题主要考查了相似三角形的应用以及一元二次方程的解法等知识，利用相似三角形的判定与性质得出是解题关键．