Question

已知：如图，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点.
（1）求证：△CDP∽△PAF；
（2）设DP＝x，AF＝y，求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由.（本题12分）

Answer 1

（1）见解析（2）y＝（0＜x＜3）（3）不存在符合要求的点P

试题分析:（1）∵PF切⊙C于点P，∴CP⊥PF………………………………………………（1分）
∴∠1＋∠2＝90º，而矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90º，∴∠2＋∠3＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDP∽△PAF……………………………（4分）
（2）∴＝，即＝，整理可得，y＝（0＜x＜3）8′
（3）假设点A的落点为A’，则AA’⊥PF，AF＝A’F
∴AA’∥PC，得□AA’CP，则A’B＝DP
在Rt△A’BF中，x²＋(2－y)²＝y²，……………………………………………12′
即3x²-6x+4=0，该方程无实数根，不存在符合要求的点P…（8分）
点评：此类试题属于难度很大的综合性试题，考生解答此类试题时一定要掌握好每一个小知识点