题目内容
（11·贵港）（本题满分11分）如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，过点C作大圆的切线CD交AB的延长线于点D，连接OC交小圆于点E，连接BE、BO．
（1）求证：△AOB∽△BDC；
（2）设大圆的半径为x，CD的长为y：
①求y与x之间的函数关系式；
②当BE与小圆相切时，求x的值．
（1）证明：如图，∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C，
∴∠OAB＝∠OCD＝90°
∵BC⊥AB ∴∠CBA＝∠CBD＝90°………………1分
∵∠1＋∠OBC＝90° ∠2＋∠OCB＝90°
又∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∴∠1＝∠2………………2分
∴△AOB∽△BDC………………3分
（2）解：①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形………………4分
∴BF＝OA＝1
由垂径定理，得BC＝2BF＝2………………5分
在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝x
∴AB＝
＝
………………6分
由（1）得△AOB∽△BDC
∴
＝
即
＝
∴y＝
（或y＝
）………………7分
②当BE与小圆相切时，OE⊥BE
∵OE＝1，OC＝x
∴EC＝x－1 BE＝AB＝………………8分
在Rt△BCE中，EC2＋BE2＝BC2
即(x－1)2＋()2＝22………………9分
解得：x1＝2 x2＝－1（舍去）………………10分
∴当BE与小圆相切时，x＝2………………11分解析:
略
∴∠OAB＝∠OCD＝90°
∵BC⊥AB ∴∠CBA＝∠CBD＝90°………………1分
∵∠1＋∠OBC＝90° ∠2＋∠OCB＝90°
又∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∴∠1＝∠2………………2分
∴△AOB∽△BDC………………3分
（2）解：①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形………………4分
∴BF＝OA＝1
由垂径定理，得BC＝2BF＝2………………5分
在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝x
∴AB＝
＝………………6分由（1）得△AOB∽△BDC
∴
＝ 即＝∴y＝
（或y＝）………………7分②当BE与小圆相切时，OE⊥BE
∵OE＝1，OC＝x
∴EC＝x－1 BE＝AB＝
………………8分在Rt△BCE中，EC2＋BE2＝BC2
即(x－1)2＋(
)2＝22………………9分解得：x1＝2 x2＝－1（舍去）………………10分
∴当BE与小圆相切时，x＝2………………11分解析:
略
练习册系列答案
相关题目
