Question

如图，将两块全等的等腰直角△ABC和△A′B′C′（其中∠C=∠C′=90°）的三角板叠放在一起，使点C′在AB的中点上，固定△ABC，将△A′B′C′绕着点C′旋转．
（1）当点C在A′B′上时（如图①），求证：两块三角板重叠部分（即阴影部分）的四边形ECFC′是正方形；
（2）将图①中的△A′B′C′绕着点C′逆时针旋转某一角度后（例如图②），点C能否还在A′B′上？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接CC′．由△A′B′C′≌△ABC证明CC′⊥A′B′且CC′⊥

1

2

A′B′；根据C′是AB的中点来证明CC′⊥AB，且CC′=

1

2

AB；从而求得A′B′∥AB，再根据平行线的性质求得∠CC′E=∠C′CF=∠CC′F=45°，所以四边形ECFC′是菱形，又因为∠FCE=90°，所以四边形ECFC′是正方形；
（2）不能．将问题转化为CC′绕点C′顺时针旋转某一角度．

解答：解：（1）连接CC′．
∵C′是AB的中点，
∴CC′⊥AB，且CC′=

1

2

AB；
∵△A′B′C′≌△ABC，
∴CC′⊥A′B′，且CC′=

1

2

A′B′，
∴A′B′∥AB，∠A=∠B′CE=45°（4分），
∴∠C′CE=45°，从而∠CC′E=∠C′CF=∠CC′F=45°，CE=C′E=C′F=CF=

2

2

CC′（6分），
∴四边形ECFC′是菱形，
又∠FCE=90°，
∴四边形ECFC′是正方形（7分）；

（2）不能（8分），问题中“△A′B′C′绕着点C′逆时针旋转某一角度”相当于“CC′绕点C′顺时针旋转某一角度”，由于三角形的高最短且唯一，垂线段（三角形的高）最短，所以C将不再在A′B′上（9分）．

点评：本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质．解答此题时，采用了“转化的思想”数学思想，即将（2）中的问题转化为CC′绕点C′顺时针旋转某一角度，然后利用“两点间垂线段最短的”几何知识来解答问题．