Question

【题目】如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线 、 、 、 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 、 、 （ ＞0， ＞0， ＞0）．

（1）求证： = ；
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S= ；
（3）若 ，当 变化时，说明正方形ABCD的面积S随 的变化情况．

Answer 1

【答案】
（1）证明：过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CG⊥l3交l3于点G，
∵l2∥l3 ， ∴∠2=∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°,BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即 =
（2）解：∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD=∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°,AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD2=AF2+FD2 ， ∴S=
（3）解：由题意，得 ，所以
，
又 ，解得0＜h1＜
∴当0＜h1＜ 时，S随h1的增大而减小；
当h1= 时，S取得最小值 ；
当 ＜h1＜ 时，S随h1的增大而增大
【解析】（1）由三角形全等，即△BEA≌△DGC，可得h 1 = h 3；（2）正方形的面积可转化为边长的平方，通过证△AFD≌△DGC，得到DF=CG，利用勾股定理AD2=AF2+FD2 ， 进而转化为( h 1 + h 2 ) 2 + h 1 2；（3）可用h1的代数式表示h2,利用（2）的结论，构建S关于h1的二次函数，求出h1的范围，在此范围内，讨论其性质.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．