Question

将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为顶点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8．
（1）如右上图，在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作点E．
①求点E的坐标及折痕BD的长；
②在x轴上取两点M，N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M和点N的坐标；
（2）如右下图，在OC，BC边上分别取点F，G，将△GCF沿GF折叠，使点C恰好落在OA边上，记作点H．设OH=x，四边形OHGC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①根据矩形的性质得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根据折叠的性质得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，则OE=10-6=4，即可得到E点坐标；在Rt△ODE中，设DE=x，则OD=OC-DC=OC-DE=8-x，利用勾股定理可计算出x，再在Rt△BDE中，利用勾股定理计算出BD；
②以D、M、N为顶点作平行四边形DMND′，作出点B关于x轴对称点B′，则易得到B′的坐标，D′的坐标，然后利用待定系数法求出直线D′B′的解析式，令y=0，得-2x+12=0，确定N点坐标，也即可得到M点坐标．
（2）过点H作HM⊥BC于M，则MG=HG-x，从而在RT△HMG中可用x表示出HG的长，利用梯形的面积公式可用x表示出y，点F与点O重合时是OH取得最大值的点，从而可得出自变量的范围．

解答：解：（1）①∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=8，
∵△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边E点上，
∴BC=BE=10，DC=DE，
在Rt△ABE中，BE=10，AB=8，
∴AE=6，
∴OE=10-6=4，
∴E点坐标为（4，0）；
在Rt△ODE中，设DE=x，则OD=OC-DC=OC-DE=8-x，
∴x²=4²+（8-x）²，解得x=5，
在Rt△BDE中，
BD=

52+102

=5

5

；

②以D、M、N为顶点作平行四边形DMND′，作出点B关于x轴对称点B′，如图：
∴B′的坐标为（10，-8），DD′=MN=4.5，
∴D′的坐标为（4.5，3），
设直线D′B′的解析式为y=kx+b，
把B′（10，-8），D′（4.5，3）代入得
10k+b=-8，4.5k+b=3，
解得k=-2，b=12，
∴直线D′B′的解析式为y=-2x+12，
令y=0，得-2x+12=0，解得x=6，
∴M（1.5，0）；N（6，0）．

（2）过点H作HM⊥BC于M，则MG=HG-x，
∵△GCF沿GF折叠得到△GHF，
∴HG=CG，故MG可表示为CG-x，
在Rt△HMG中，HG²=MG²+MH²，即HG²=（CG-x）²+64，
解得：CG=

64+x2

2x

，
∴S_OHGC=

1

2

（CG+OH）•OC=

6x2+128

x

，即y=

6x2+128

x

，
点F与点O重合点G与点B重合、点F与点O重合分别是点F的两个极限，
1、点G与点B重合时，由①的结论可得，此时OH=4，
2、点F与点O重合时，OH=8，
综上可得：y=

6x2+128

x

，（4＜x＜8）．

点评：本题考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，在（2）求自变量范围的时候，要注意寻找极限点，不要想当然的判断．