Question

已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．
（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．
（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△EBD≌△FCD，推出ED=DF，得出等边三角形，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，即可得出答案；
（2）延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根据SAS证△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根据SAS证△EDF≌△EDN，推出EF=EN，即可得出答案．

解答：（1）证明：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°，
在△EBD和△FCD中

BE=CF ∠EBD=∠FCD BD=DC

，
∴△EBD≌△FCD（SAS），
∴ED=DF，
∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形，
∵△EBD≌△FCD，
∴∠EDB=∠FDC，
∵在△NBD和△FCD中

BD=DC ∠NBD=∠FCD=90° BN=CF

，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠EDB=∠FDC，
∴∠EDB=∠BDN=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中

DE=DE ∠EDF=∠EDN DN=DF

，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即△EDF是等边三角形，BE+CF=EF．

（2）解：BE+CF=EF还成立，理由是：
延长AB到N，使BN=CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，
∵在△NBD和△FCD中

BD=DC ∠NBD=∠FCD=90° BN=CF

，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，
∴∠EDB+∠BDN=60°，
即∠EDF=∠EDN，
在△EDN和△EDF中

DE=DE ∠EDF=∠EDN DN=DF

，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，
即BE+CF=EF．

点评：本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，但是证明过程类似．