Question

小明将她家乡的抛物线型彩虹桥按比例缩小后，绘制成如下图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称，经过测算，右边抛物线的表达式为y=-

1

20

(x-30)2+5．

（1）直接写出左边抛物线的解析式；
（2）求抛物线彩虹桥的总跨度AB的长；
（3）若三条钢梁的顶点M、E、N与原点O连成的四边形OMEN是菱形，你能求出钢梁最高点离桥面的高度OE的长吗？如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得出y与x的二次函数．
（2）由1得出二次函数的关系式以及D，B的坐标代入可求出AB的长．
（3）连接MN，可知四边形OMEN是菱形，易求OE的长．

解答：解：由题意得：
（1）y=-

1

20

(x+30)2+5，

（2）因为抛物线y=-

1

20

(x-30)2+5与x轴的交点是D（20，0），B（40，0），
抛物线y=-

1

20

(x+30)2+5与x轴的交点是D（-20，0），B（-40，0），
所以AC=20米，CD=40米，DB=20米，抛物线彩虹桥的总跨度AB的长为80米．

（3）可以求出OE的长，
连接MN，
∵四边形OMEN是菱形，
∴MN垂直平分OE，又M（-30，5），
∴OE=10m．

点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．