题目内容
已知点M,N的坐标分别为(0,1),(0,-1),点P是抛物线y=1 | 4 |

(1)求证:以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=-1的相切;
(2)设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q,连接NP,NQ,求证:∠PNM=∠QNM;
(3)是否存在这样的点P,使得△PMN为等腰直角三角形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设出点P的坐标,分别表示出PM、P到直线y=-1的距离,然后判断它们是否相等即可;
(2)分别过P、Q作直线y=-1的垂线,设垂足为H、R,那么PH∥MN∥QR,根据平行线分线段成比例定理,可得:PM:HN=QM:RN,而PM=PH,QM=QR,等量代换后即可证得△PNH∽△QNR,由此可得∠QNR=∠PNH,进而可证得所求的结论;
(3)显然∠PNM、∠NPM都不可能是直角,当∠PMN=90°时,若△PMN是等腰直角三角形,那么PM=MN=2,由此可求出点P的坐标.(另一种解法:若△PNM是等腰Rt△,那么∠PNM=∠PNH=45°,由此可得PH=NH,可列方程求出点P的坐标.)
(2)分别过P、Q作直线y=-1的垂线,设垂足为H、R,那么PH∥MN∥QR,根据平行线分线段成比例定理,可得:PM:HN=QM:RN,而PM=PH,QM=QR,等量代换后即可证得△PNH∽△QNR,由此可得∠QNR=∠PNH,进而可证得所求的结论;
(3)显然∠PNM、∠NPM都不可能是直角,当∠PMN=90°时,若△PMN是等腰直角三角形,那么PM=MN=2,由此可求出点P的坐标.(另一种解法:若△PNM是等腰Rt△,那么∠PNM=∠PNH=45°,由此可得PH=NH,可列方程求出点P的坐标.)
解答:解:(1)设点P的坐标为(x0,
x02),则
PM=
=
+1;(2分)
又因为点P到直线y=-1的距离为
-(-1)=
+1,
所以,以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=-1相切;(2分)
(2)如图,分别过点P,Q作直线y=-1的垂线,垂足分别为H,R;
由(1)知,PH=PM,
同理可得,QM=QR.(2分)
因为PH,MN,QR都垂直于直线y=-1,
所以PH∥MN∥QR,(1分)
于是
=
,
所以
=
,
因此,Rt△PHN∽Rt△QRN,(2分)
于是∠HNP=∠RNQ,从而∠PNM=∠QNM;(1分)
(3)显然,∠MNP≠90°,∠NPM≠90°,
所以,只能∠PMN=90°,(2分)
要使△PMN为等腰直角三角形,则有:
PM⊥MN且PM=MN,(1分)
所以,P(2,1)或(-2,1)(1分)
1 |
4 |
PM=
x02+
|
|
=
| 2 0 |
又因为点P到直线y=-1的距离为
1 |
4 |
x | 2 0 |
1 |
4 |
x | 2 0 |
所以,以点P为圆心,PM为半径的圆与直线y=-1相切;(2分)

由(1)知,PH=PM,
同理可得,QM=QR.(2分)
因为PH,MN,QR都垂直于直线y=-1,
所以PH∥MN∥QR,(1分)
于是
QM |
RN |
MP |
NH |
所以
QR |
RN |
PH |
HN |
因此,Rt△PHN∽Rt△QRN,(2分)
于是∠HNP=∠RNQ,从而∠PNM=∠QNM;(1分)
(3)显然,∠MNP≠90°,∠NPM≠90°,
所以,只能∠PMN=90°,(2分)
要使△PMN为等腰直角三角形,则有:
PM⊥MN且PM=MN,(1分)
所以,P(2,1)或(-2,1)(1分)
点评:此题是二次函数的综合题,考查了切线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识,难度适中.

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