Question

（2005•芜湖）如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．
（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条？
（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？

Answer 1

【答案】分析：（1）由长方形中最长的线段为对角线，从而可根据已知运用勾股定理求得最长线段的长，又因为展开图形中有两个长方形，每个长方形有两条对角线，知这样的线段可画4条；
（2）要确定角的大小关系，一般把两个角分别放在两个三角形中，然后根据三角形的特点或者全等或者相似形来解．
解答：解：（1）在平面展开图中可画出最长的线段长为，（1分）
如图（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得，
∴．（3分）
答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）．（4分）


（2）∵立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，∴∠BAC=45°．（5分）
在平面展开图中，连接线段B′C′，由勾股定理可得：A'B'=，B'C'=．（7分）
又∵A′B′²+B′C′²=A′C′²，
由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形．
又∵A′B′=B′C′，∴△A′B′C′为等腰直角三角形．（8分）
∴∠B′A′C′=45°．（9分）
∴∠BAC与∠B′A′C′相等．（10分）
点评：本题综合考查了展开与折叠，等腰直角三角形，勾股定理的知识，是一道综合性比较强的题，难度中等．