题目内容
(2013•太原)数学活动---求重叠部分的面积.
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:
如图1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点G.求重叠部分(△DCG)的面积.
(1)独立思考:请回答老师提出的问题.
(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图2,你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程.
(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠部分面积的问题.
“爱心”小组提出的问题是:如图3,将△DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN,求重叠部分(△DMN)的面积.
任务:①请解决“爱心”小组提出的问题,直接写出△DMN的面积是
.
②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图4中画出图形,标明字母,不必解答(注:也可在图1的基础上按顺时针旋转).
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:
如图1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点G.求重叠部分(△DCG)的面积.
(1)独立思考:请回答老师提出的问题.
(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图2,你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程.
(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠部分面积的问题.
“爱心”小组提出的问题是:如图3,将△DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN,求重叠部分(△DMN)的面积.
任务:①请解决“爱心”小组提出的问题,直接写出△DMN的面积是
75 |
16 |
75 |
16 |
②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图4中画出图形,标明字母,不必解答(注:也可在图1的基础上按顺时针旋转).
分析:(1)确定点G为AC的中点,从而△ADC为等腰三角形,其底边AC=8,底边上的高GD=
BC=3,从而面积可求;
(2)本问解法有多种,解答中提供了三种不同的解法.基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解;
(3)①对于爱心小组提出的问题,如答图4所示,作辅助线,利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质,列方程求解;
②本问要求考生自行提出问题,答案不唯一,属于开放性问题.
1 |
2 |
(2)本问解法有多种,解答中提供了三种不同的解法.基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解;
(3)①对于爱心小组提出的问题,如答图4所示,作辅助线,利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质,列方程求解;
②本问要求考生自行提出问题,答案不唯一,属于开放性问题.
解答:解:(1)【独立思考】
∵∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴DC=DA=DB,∴∠B=∠DCB.
又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B.
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC.
∴∠AGD=∠ACB=90°,∴DG⊥AC.
又∵DC=DA,∴G是AC的中点,
∴CG=
AC=
×8=4,DG=
BC=
×6=3,
∴S△DGC=
CG•DG=
×4×3=6.
(2)【合作交流】
解法一:如下图所示:
∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1.
∵∠C=90°,ED⊥AB,
∴∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2,∴∠1=∠2,
∴GH=GD.
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
∴∠A=∠3,∴AG=GD,
∴AG=GH,即点G为AH的中点.
在Rt△ABC中,AB=
=
=10,
∵D是AB中点,∴AD=
AB=5.
在△ADH与△ACB中,∵∠A=∠A,∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB,∴
=
,即
=
,解得DH=
,
∴S△DGH=
S△ADH=
×
×DH•AD=
×
×5=
.
解法二:同解法一,G是AH的中点.
连接BH,∵DE⊥AB,D是AB中点,
∴AH=BH.设AH=x,则CH=8-x.
在Rt△BCH中,CH2+BC2=BH2
即:(8-x)2+36=x2,解得x=
.
∴S△ABH=
AH•BC=
×
×6=
.
∴S△DGH=
S△ADH=
×
S△ABH=
×
=
.
解法三:同解法一,∠1=∠2.
连接CD,由(1)知,∠B=∠DCB=∠1,
∴∠1=∠2=∠B=∠DCB.
∴△DGH∽△BDC.
过点D作DM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N.
∵D是AB的中点,∠ACB=90°,
∴CD=AD=BD,∴点M是AC的中点,
∴DM=
BC=
×6=3.
在Rt△ABC中,AB=
=
=10,
AC•BC=
AB•CN,
∴CN=
=
=
.
∵△DGH∽△BDC,
∴
=(
)2,
∴S△DGH=(
)2•S△BDC=(
)2•
BD•CN
∴S△DGH=(
)2×
×5×
=
.
(3)【提出问题】
①解决“爱心”小组提出的问题.
如答图4,过点D作DK⊥AC于点K,则DK∥BC,
又∵点D为AB中点,
∴DK=
BC=3.
∵DM=MN,∴∠MND=∠MDN,由(2)可知∠MDN=∠B,
∴∠MND=∠B,又∵∠DKN=∠C=90°,
∴△DKN∽△ACB,
∴
=
,即
=
,得KN=
.
设DM=MN=x,则MK=x-
.
在Rt△DMK中,由勾股定理得:MK2+DK2=MD2,
即:(x-
)2+32=x2,解得x=
,
∴S△DMN=
MN•DK=
×
×3=
.
②此题答案不唯一,示例:如答图5,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥BC于点M,DF交BC于点N,求重叠部分(四边形DMCN)的面积.
∵∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴DC=DA=DB,∴∠B=∠DCB.
又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B.
∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC.
∴∠AGD=∠ACB=90°,∴DG⊥AC.
又∵DC=DA,∴G是AC的中点,
∴CG=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S△DGC=
1 |
2 |
1 |
2 |
(2)【合作交流】
解法一:如下图所示:
∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1.
∵∠C=90°,ED⊥AB,
∴∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°,
∴∠B=∠2,∴∠1=∠2,
∴GH=GD.
∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°,
∴∠A=∠3,∴AG=GD,
∴AG=GH,即点G为AH的中点.
在Rt△ABC中,AB=
AC2+BC2 |
82+62 |
∵D是AB中点,∴AD=
1 |
2 |
在△ADH与△ACB中,∵∠A=∠A,∠ADH=∠ACB=90°,
∴△ADH∽△ACB,∴
AD |
AC |
DH |
CB |
5 |
8 |
DH |
6 |
15 |
4 |
∴S△DGH=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
15 |
4 |
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解法二:同解法一,G是AH的中点.
连接BH,∵DE⊥AB,D是AB中点,
∴AH=BH.设AH=x,则CH=8-x.
在Rt△BCH中,CH2+BC2=BH2
即:(8-x)2+36=x2,解得x=
25 |
4 |
∴S△ABH=
1 |
2 |
1 |
2 |
25 |
4 |
75 |
4 |
∴S△DGH=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
75 |
4 |
75 |
16 |
解法三:同解法一,∠1=∠2.
连接CD,由(1)知,∠B=∠DCB=∠1,
∴∠1=∠2=∠B=∠DCB.
∴△DGH∽△BDC.
过点D作DM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N.
∵D是AB的中点,∠ACB=90°,
∴CD=AD=BD,∴点M是AC的中点,
∴DM=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△ABC中,AB=
AC2+BC2 |
82+62 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴CN=
AC•BC |
AB |
8×6 |
10 |
24 |
5 |
∵△DGH∽△BDC,
∴
S△DGH |
S△BDC |
DM |
CN |
∴S△DGH=(
DM |
CN |
DM |
CN |
1 |
2 |
∴S△DGH=(
3 | ||
|
1 |
2 |
24 |
5 |
75 |
16 |
(3)【提出问题】
①解决“爱心”小组提出的问题.
如答图4,过点D作DK⊥AC于点K,则DK∥BC,
又∵点D为AB中点,
∴DK=
1 |
2 |
∵DM=MN,∴∠MND=∠MDN,由(2)可知∠MDN=∠B,
∴∠MND=∠B,又∵∠DKN=∠C=90°,
∴△DKN∽△ACB,
∴
KN |
BC |
DK |
AC |
KN |
6 |
3 |
8 |
9 |
4 |
设DM=MN=x,则MK=x-
9 |
4 |
在Rt△DMK中,由勾股定理得:MK2+DK2=MD2,
即:(x-
9 |
4 |
25 |
8 |
∴S△DMN=
1 |
2 |
1 |
2 |
25 |
8 |
75 |
16 |
②此题答案不唯一,示例:如答图5,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥BC于点M,DF交BC于点N,求重叠部分(四边形DMCN)的面积.
点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、图形面积计算、解方程等知识点.题干信息量大,篇幅较长,需要认真读题,弄清题意与作答要求.试题以图形旋转为背景,在旋转过程中,重叠图形的形状与面积不断发生变化,需要灵活运用多种知识予以解决,有利于培养同学们的研究与探索精神,激发学习数学的兴趣,是一道好题.
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