题目内容
如图（1）所示，一张平行四边形纸片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD把这张纸片剪成△AB1D1和△CB2D2两个三角形（如图（2）所示），将△AB1D1沿直线AB1方向移动（点B2始终在AB1上，AB1与CD2始终保持平行），当点A与B2重合时停止平移，在平移过程中，AD1与B2D2交于点E，B2C与B1D1交于点F，（1）当△AB1D1平移到图（3）的位置时，试判断四边形B2FD1E是什么四边形？并证明你的结论；
（2）设平移距离B2B1为x，四边形B2FD1E的面积为y，求y与x的函数关系式；并求出四边形B2FD1E的面积的最大值；
（3）连接B1C（请在图（3）中画出）．当平移距离B2B1的值是多少时，△B1B2F与△B1CF相似？
分析：（1）首先根据勾股定理的逆定理得到直角三角形ABD，再根据有一个角是直角的平行四边形判定该四边形是矩形；
（2）根据平行可以得到其中的两个小直角三角形和大直角三角形相似，再根据其对应边的比相等，求得矩形的长和宽，进一步表示出它的面积；
（3）若相似，则结合（2）中表示出的线段，写出相关的比例式，从而求得x的值．
（2）根据平行可以得到其中的两个小直角三角形和大直角三角形相似，再根据其对应边的比相等，求得矩形的长和宽，进一步表示出它的面积；
（3）若相似，则结合（2）中表示出的线段，写出相关的比例式，从而求得x的值．
解答：解：（1）四边形B2FD1E是矩形．
因为△AB1D1是平移到图（3）的，所以四边形B2FD1E是一个平行四边形，
又因为在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，BD=8，则有∠ADB是直角．所以四边形B2FD1E是矩形．
（2）因为△B2B1F与△AB1D1相似，
则有B2F=
B1B2=0.6x，B1F=
B1B2=0.8x，
所以SB2FD1E=B2F×D1F=0.6x×（8-0.8x）=4.8x-0.48x2
即y=4.8x-0.48x2=12-0.48（x-5）2
当x=5时，y=12是最大的值．
（3）要使△B1B2F与△B1CF相似，
则有
=
或
=
即
=
或
=
，
解之得：x=3.6或5．
因为△AB1D1是平移到图（3）的，所以四边形B2FD1E是一个平行四边形，
又因为在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，BD=8，则有∠ADB是直角．所以四边形B2FD1E是矩形．
（2）因为△B2B1F与△AB1D1相似，
则有B2F=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
所以SB2FD1E=B2F×D1F=0.6x×（8-0.8x）=4.8x-0.48x2
即y=4.8x-0.48x2=12-0.48（x-5）2
当x=5时，y=12是最大的值．
（3）要使△B1B2F与△B1CF相似，
则有
| B2F |
| B1F |
| B1F |
| FC |
| B2F |
| B1F |
| F C |
| B1F |
即
| 0.6x |
| 0.8x |
| 0.8x |
| (6-0.6x) |
| 0.6x |
| 0.8x |
| 6-0.6x |
| 0.8x |
解之得：x=3.6或5．
点评：综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．
练习册系列答案
相关题目
