题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，A，B，C为坐标轴上的三点，且OA=OB=OC=4，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△ABD的面积为8．过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．
（1）求D点的坐标；
（2）求证：OF=OG；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得△CFP为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：如图1，作DH⊥x轴于H，
∵OA=OB=OC=4，
∴AB=8，B（4，0），C（0，4），
设BC的解析式为y=kx+b，
把B，C两点代入得 
，解得： 
，
∴BC的解析式为y=﹣x+4，
∵△ABD的面积为8，AB=8，
∴DH=2，
所以D点的纵坐标为2，
把y=2代入y=﹣x+4得：x=2，
∴D（2，2）；
（2）
解：∵CE⊥AD，
∴∠CEG=∠AOG=90°，
又∵∠AGO=∠CGE，
∴△AGO～△CGE，
∴∠GAO=∠GCE，
在△COF与△AOG中， 
，
∴△COF≌△AOG，
∴OF=OG；
（3）
解：存在，∵A（﹣4，0），D（2，2），
∴直线AD的解析式为y= 
x+ 
，
∴OG= ，
∴OF=OG= ，
①如图2，当∠CFP=90°，FP=FC时，
过P作PH⊥x轴于H，
∴∠PHF=∠COF=90°，
∴∠OCF+∠OFC=∠OFC+∠PFH=90°，∴∠OCF=∠PFH，
在△COF与△PFH中， 
，∴△COF≌△PFH，∴PH=OF= ，FH=OC=4，
∴OH= 
，
∴P1（ ， ）；
②如图3，当∠PCF=90°，CP=FC时，同理证得△PHC≌△CFO，
∴PH=OC=4，CH=OF= ，
∴OH= ，
∴P2（4， ）；
③如图4，当∠CPF=90°，PC=PF时，
过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴四边形PNOM是矩形，
∴∠NPM=90°，
∴∠CPN+∠NPF=∠NPF+∠FPM=90°，
∴∠CPN=∠FPM，
在△CPN与△FPM中， 
，
∴△PNC≌△PMF，
∴PN=PM，CN=FM，
∴矩形PNOM是正方形，
∴ON=OM，
∴4﹣CN= +CN，
∴CN=CM= ，
∴PN=PM= 
，
∴P3（ ， ），
综上所述：P的坐标为（ ， ），（4， ），（ ， ）．
【解析】（1）根据已知条件得到AB=8，B（4，0），C（0，4），待定系数法求得BC的解析式为y=﹣x+4，根据三角形的面积得到DH=2，即可得到结论；（2）根据已知条件得到△AGO～△CGE，由相似三角形的性质得到∠GAO=∠GCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）根据直线AD的解析式y= x+ ，求得OF=OG= ，①如图2，当∠CFP=90°，FP=FC时，过P作PH⊥x轴于H，根据全等三角形的性质得到PH=OF= ，FH=OC=4，于是得到P1（ ， ）；②如图3，当∠PCF=90°，CP=FC时，根据全等三角形的性质得到PH=OC=4，CH=OF= ，于是得到P2（4， ）；③如图4，当∠CPF=90°，PC=PF时，根据全等三角形的性质得到PN=PM，CN=FM，根据ON=OM，列方程得到CN=CM= ，于是得到P3（ ， ）．
