Question

（2008•十堰）已知抛物线y=-ax²+2ax+b与x轴的一个交点为A（-1，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）抛物线y=-ax²+2ax+b的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与x轴的另一交点与A关于对称轴对称，因而交点就可以求出．
（2）AB的长度可以求出，连接PC，在直角三角形OCP中，根据勾股定理就可以求出C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．
（3）本题应分AC或BC为对角线和以AB为对角线三种情况进行讨论，当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．就可以求出点M的坐标．当以AB为对角线时，点M在x轴下方易证△AOC≌△BNM，可以求出点M的坐标．
解答：解：（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是（3，0）．（2分）
说明：每写对1个给（1分），“直线”两字没写不扣分．

（2）如图，连接PC，
∵点A、B的坐标分别是A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
∴PC=AB=×4=2
在Rt△POC中，
∵OP=PA-OA=2-1=1，
∴OC=，
∴b=（3分）
当x=-1，y=0时，-a-2a+=0
∴a=（4分）
∴y=-x²+x+．（5分）

（3）存在．（6分）理由：如图，连接AC、BC．
设点M的坐标为M（x，y）．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．
由（2）知，AB=4，
∴|x|=4，y=OC=．
∴x=±4．
∴点M的坐标为M（4，）或（-4，）．（9分）
说明：少求一个点的坐标扣（1分）．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90度．
∵四边形AMBC是平行四边形，
∴AC=MB，且AC∥MB．
∴∠CAO=∠MBN．
∴△AOC≌△BNM．
∴BN=AO=1，MN=CO=．
∵OB=3，
∴0N=3-1=2．
∴点M的坐标为M（2，-）．（12分）
综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．
其坐标为M₁（4，），M₂（-4，），M₃（2，-）．
说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分
点评：本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．