Question

如图所示，点B坐标为（18，0），点A坐标为（18，6），动点P从点O开始沿OB以每秒3个单位长度的速度向点B移动，动点Q从点B开始沿BA以每秒1个单位长度的速度向点A移动．如果P、Q分别从O、B同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0＜t≤6），那么，
（1）当t=______时，以点P、B、Q为顶点的三角形与△AOB相似；
（2）若设四边形OPQA的面积为y，试写出y与t的函数关系式，并求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小？
（3）在y轴上是否存在点E，使点P、Q在移动过程中，以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）讨论：当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由相似三角形：Rt△QPB∽Rt△AOB，的对应边成比例求得t=3；当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO，由相似三角形的对应边成比例知=，即=，即可得到t=5.4；
（2）利用y=S_△OAB-S_△BPQ=×18×6-×（18-3t）t，然后利用配方法求得该二次函数的最值，即求出t取何值时，四边形OPQA的面积最小；
（3）当点E在y轴正半轴时，利用以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积=梯形BQEO的面积-△OPE的面积，用t与m表示出来为（t+m）×18-×3t×m=（9-m）t+9m，当t的系数为0时即可得到m的值；
当点E在y轴负半轴时，S=S_△EPB+S_△PBQ=（18-3t）（-m）-（18-3t）t=-t²+mt+9t-9m．此时不存在m的值，使S的值为常数．
解答：解：∵点B坐标为（18，0），点A坐标为（18，6），
∴BO=18，AB=6，AB⊥0B．
（1）当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△QPB∽Rt△AOB，
则=，即=，
解得t=3；
当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO，
∴=，即=，
∴t=5.4．
所以当t=3秒或5.4秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB相似．

（2）y=S_△OAB-S_△BPQ=×18×6-×（18-3t）t=（t-3）²+，即y=（t-3）²+．
则当t=3，四边形OPQA的面积最小；

（3）存在．理由如下：
设以B、Q、E、P为顶点的四边形面积是S，E（0，m）．
①如图1，当E在y轴的正半轴上时，则
S=S_梯形BQEO-S_△OPE=（t+m）×18-×3t×m=（9-m）t+9m．
故当9-m=0，即m=6时，S=54是一个定值；
②如图2，当点E在y轴的正半轴上时，则S=S_△EPB+S_△PBQ=（18-3t）（-m）-（18-3t）t=-t²+mt+9t-9m．
此时不存在m的值，使S的值为常数．
综上所述，点E的坐标（0，6）使点P、Q在移动过程中，以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数．
故答案为：3或5.4．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：两组对应角相等的三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了分类讨论思想的运用以及三角形的面积公式．