Question

阅读（1）的推导并填空，然后解答第（2）题．
（1）当a＜0，∵ax²+bx+c=a（x+

b

2a

）²+A（2），又∵（x+

b

2a

）²≥0，∴a（x+

b

2a

）²≤0，ax²+bx+c=a（x+

b

2a

）²+A≤A，即：无论x怎样变化，y=ax²+bx+c（a＜0）的所有取值中，以A为最大；且在x=B时，y的值等于A，其中，用a，b，c表示，A=

 

，B=

 

；
（2）为了绿化城市，我市准备在如图的矩形ABCD内规划一块地面，修建一个矩形草坪PQRC．按计划要求，草坪的两边RC与CP分别在BC和CD上，且草坪不能超过文物保护区△AEF的边界EF．经测量知，AB=CD=100m，BC=AD=80m，AE=30m，AF=20m．应如何确定草坪的位置，才能使草坪占地面积最大又符合设计要求并求出这个最大面积（结果保留到个位，解答时可应用（1）的结论）？

Answer 1

分析：（1）此题检测学生对配方法的掌握情况及运用配方法求最值的原理，可自行配方求A、B，亦可运用顶点坐标公式直接填写．
（2）显然需列出表示草坪面积的关系式．不妨设CP=x，用含x的式子表示面积y．关键是表示PQ，可延长PQ交AE于G，利用△GEQ∽△AEF，先表示GQ的长，再用PG-GQ=PQ，从而求解．

解答：解：（1）根据题意：A=

4ac-b2

4a

，B=-

b

2a

．

（2）延长PQ交AE于G，设CP=x，S_PQRC=y，
则

GQ

20

=

x-(100-30)

30

，GQ=

2x-140

3

．
又PQ=PG-GQ=80-

2x-140

3

=

380-2x

3

，
则y=x•

380-2x

3

即：y=-

2

3

x²+

380

3

x
∴当x=-

380 3

2×(- 2 3 )

=95时，y_最大=

4×(- 2 3 )×0-( 380 3 )2

4×(- 2 3 )

≈6017
∴CR=QR=

380-2×95

3

=63

1

3

点评：此题的关键在设其中一边后用它表示另一边的长，要充分运用已知条件，在三角形中构造相似图形，把已知和未知建立联系．