Question

如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．
（1）求证：AC∥OD．
（2）若∠AOD=110°，求的度数．

Answer 1

（1）证明：如图，连接AD．
∵=，
∴=2
∴∠CAB=2∠DAB．
又∵∠DOB=2∠DAB，
∴∠CAB=∠DOB，
∴AC∥OD；

（2）解：如图，连接OC．
∵∠AOD=110°，
∴∠DOB=70°．
又∵=，
∴∠COD=∠DOB=70°，
∴∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-70°=40°，
∴=40°．
分析：（1）如图，连接AD．由圆心角、弧、弦间的关系，圆周角定理推知同位角∠CAB=∠DOB=2∠DAB，则易证得结论；
（2）由邻补角的定义、圆心角、弧、弦的关系求得∠COD=∠DOB=70°，则∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-70°=40°．
点评：本题考查了圆心角、弧、弦间的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．