Question

关于二次函数y=mx²-x-m+1（m≠0）．以下结论：①不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；②若m＜0，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞2；③当x=m时，函数值y≥0；④若m＞1，则当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的序号是（　　）

A．①②

B．②③

C．①②④

D．①③④

Answer 1

分析：①令y=0，利用因式分解法求得相应的x的值，即该函数所经过的定点坐标；
②根据AB=|x₁-x₂|求解；
③需要对m的取值进行讨论：当m≤1时，y≤0；
④根据二次函数图象的开口方向、对称轴方程以及单调性进行判断．

解答：解：①由二次函数y=mx²-x-m+1（m≠0），得
y=[m（x+1）-1]（x-1）；
令y=0，则m（x+1）-1=0或x-1=0，即x₁=

1-m

m

，x₂=1，
所以该函数经过点（

1-m

m

，0）、（1，0），
∴无论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；
故本选项正确；

②若m＜0时，AB=|x₂-x₁|=|1-

1-m

m

|=|2-

1

m

|＞|2|=2，即AB＞2；故本选项正确；

③根据题意，得
y=m³-2m+1=（m-1）（m²+m-1）（m≠0），
∵m²＞0，
∴m²+m-1＞m-1，
当m-1≤0，即m≤1时，
（m-1）（m²+m-1）≤（m-1）²，
∵（m-1）²≥0，
∴（m-1）（m²+m-1）≤0或（m-1）（m²+m-1）≥0，
即y≤0或y≥0；
故本选项错误；

④当m＞1时，x₁=

1-m

m

＜0＜x₂，且抛物线该抛物线开口向上，
∴当x＞1时，该函数在区间[1，+∞）上是增函数，即y随x的增大而增大．
故本选项正确；
综上所述，正确的说法有①②④．
故选C．

点评：本题主要考查抛物线与x轴的交点的知识点，解答本题的关键是熟练掌握抛物线的图象以及二次函数的性质，此题难度一般．