Question

阅读下列材料．
对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当△=b²-4ac＞0时，记方程两根分别为x₁，x₂，则有：．发现：，
如图：若一元二次方程的两实数根分别是A点，B点的坐标，即x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂，（AO+OB）²=12•OC+1．
（1）求m的值并求出x₁，x₂．
（2）在前面的条件下，若过O作数轴的垂线，D为垂线上一点，取OD=OC，连AD，BD，试说明AD与BD的位置关系，这样的D点有几个，画图说明．

Answer 1

解：（1）∵（AO+OB）²=12•OC+1，
∴（-x₁+x₂）²=12×2+1，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=25，
∵x₁+x₂=m，
x₁x₂=-2m，
∴（m）²+8m=25，
整理得出：
9m ²+32m-100=0，
（9m+50）（m-2）=0，
解得：m₁=-，m₂=2，
当m₁=-时，△＜0，故舍去，
当m₂=2时，△＞0，
∴方程为：x²-3x-4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4；

（2）∵如图所示，x₁=-1，x₂=4，CO=2，
∴AO=1，OB=4，DO=CO=2，
∵AD²=AO²+DO²=1+4=5，BD²=DO²+BO²=4+16=20，
AB ²=25，
∴AD²+BD²=AB ²，
∴AD⊥BD，
如图所示这样的D点有2个．
分析：（1）利用根与系数的关系得出（x₁+x₂）²-4x₁x₂=25，进而得出m的值，进而求出方程的根；
（2）利用数形结合以及勾股定理求出AD与BD的位置关系即可．
点评：此题主要考查了根与系数的关系以及勾股定理和十字相乘法解一元二次方程，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法．