题目内容

阅读下列材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
．
解决下面问题：已知关于x的一元二次方程（2x+n）2=4x有两个非零不等实数根x1、x2，设m=
1
x1
+
1
x2
．
（1）求n的取值范围；
（2）试用关于n的代数式表示出m；
（3）是否存在这样的n值，使m的值等于1？若存在，求出这样的所有n的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由关于x的一元二次方程（2x+n）2=4x有两个非零不等实数根，即可得△=[4（n-1）]2-4×4n2＞0且n2≠0，继而求得n的取值范围；
（2）由x1，x2是关于x的一元二次方程4x2+4（n-1）x+n2=0的两个实数根，根据根与系数的关系可得：x1+x2=-
4(n-1)
4
=1-n，x1•x2=
n2
4
，又由m=
1
x1
+
1
x2
，即可求得答案；
（3）当m=1时，即
4(1-n)
n2
=1，解此方程即可求得n的值，又由（1）中n的取值范围是n＜
1
2
，且n≠0，即可求得n的值．
解答：解：（1）将方程整理得：4x2+4（n-1）x+n2=0，
∵方程有两个非零不等实数根，
∴△=[4（n-1）]2-4×4n2＞0且n2≠0，
解得n＜
1
2
，且n≠0
∴n的取值范围是n＜
1
2
，且n≠0；

（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程4x2+4（n-1）x+n2=0的两个实数根，
∴x1+x2=-
4(n-1)
4
=1-n，x1•x2=
n2
4
，
∴m=
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
=
1-n
n2
4
=
4(1-n)
n2
；

（3）存在．
理由：当m=1时，即
4(1-n)
n2
=1，
整理得：n2+4n-4=0，
解得：n=-2±2
2
，
∵n＜
1
2
，
∴n=-2+2
2
不符合题意，舍去；
∴使m=1的值存在，此时n=-2-2
2
．
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式的应用以及一元二次方程的解法．此题难度适中，注意掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a
的应用．
练习册系列答案
相关题目
阅读下列材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．
解决下列问题：
已知：a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，其中一根为2．
（1）填空：4a+2b+c
 
0，a
 
0，c
 
0；（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程ax2+bx+c=0的另一个实数根（用含a，c的代数式表示）；
（3）若实数m使代数式am2+bm+c的值小于0，问：当x=m+5时，代数式ax2+bx+c的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．
阅读下列材料：
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．
解决下列问题：
已知：a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，其中一根为2．
（1）填空：4a+2b+c
=
=
0，a
＞
＞
0，c
＜
＜
0；（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程ax2+bx+c=0的另一个实数根（用含a，c的代数式表示）．
（本题8分）阅读下列材料：若关于的一元二次方程 的两个实数根分别为、，则，
解决下面问题：已知关于x的一元二次方程有两个非零不等实数根、，设.
【小题1】(1) 求的取值范围；
【小题2】(2) 试用关于的代数式表示出；
【小题3】(3) 是否存在这样的值，使的值等于1？若存在，求出这样的所有的值；若不存在，请说明理由.
阅读下列材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，则，．
解决下列问题：
已知：a，b，c均为非零实数，且a＞b＞c，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，其中一根为2．
（1）填空：4a+2b+c______0，a______0，c______0；（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程ax2+bx+c=0的另一个实数根（用含a，c的代数式表示）；
（3）若实数m使代数式am2+bm+c的值小于0，问：当x=m+5时，代数式ax2+bx+c的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．

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