Question

已知：如图，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F

(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若cos∠MAN＝，AE＝，求阴影部分的面积

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)DE与⊙O相切　　1分 　　理由如下： 　　连结OE． 　　∵AE平分∠MAN， 　　∴∠1＝∠2． 　　∵OA＝OE， 　　∴∠2＝∠3． 　　∴∠1＝∠3， 　　∴OE∥AD 　　∴∠OEF＝∠ADF＝90°，2分 　　即OE⊥DE，垂足为E 　　又∵点E在半圆O上， 　　∴ED与⊙O相切　　3分 　　(2)∵cos∠MAN＝， 　　∴∠MAN＝60° 　　∴∠2＝∠MAN＝×60°＝30°， 　　∠AFD＝90°－∠MAN＝90°－60°＝30° 　　∴∠2＝∠AFD， 　　∴EF＝AE＝　　4分 　　在Rt△OEF中，tan∠OFE＝， 　　∴tan30°＝ 　　∴OE＝1　　5分 　　∵∠4＝∠MAN＝60°， 　　∴S阴＝ 　　 　　＝　　6分