Question

【题目】问题:如图①,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系.

（1）【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置,从而发现EF=BE+FD,请你利用图①证明上述结论.
（2）【类比引申】
如图②,在四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E,F分别在边BC,CD上,则当∠EAF与∠BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD.请说明理由.
（3）【探究应用】
如图③,在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80 m,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC,CD上分别有景点E,F,且AE⊥AD,DF=40( -1)m,现要在E,F之间修一条笔直的道路,求这条道路EF的长(结果精确到1 m,参考数据: ≈1.41, ≈1.73).

Answer 1

【答案】
（1）解：证明:由旋转的性质可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°, ∠EAG=90°.
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADC+∠ADG=180°.
∴G,D,C三点共线.
∵∠EAF=45°,∴∠GAF=45°,
∴∠GAF=∠EAF.
又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
∵GF=DG+FD=BE+FD,
∴EF=BE+FD
（2）解：∠EAF= ∠BAD；如图①,

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG的位置,由旋转的性质可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG, ∠BAE=∠DAG.
∵∠B+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠ADG=180°.
∴G,D,C三点共线.
∵∠BAE=∠DAG,∴∠BAD=∠EAG.
∵∠EAF= ∠BAD,∴∠GAF=∠EAF.
又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS).
∴GF=EF.
∵GF=DG+FD=BE+FD,∴EF=BE+FD.
故答案为∠EAF= ∠BAD.
（3）解：∵AE⊥AD,∴∠DAE=90°.
∵∠BAD=150°,∴∠BAE=60°.
又∵∠B=60°,∴△ABE是等边三角形.
∴BE=AB=80 m.
如图②,

连接AF,过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H.
在Rt△AHD中,∠ADH=180°-∠ADC=60°,AD=80 m,
∴∠HAD=30°.
∴HD= AD=40 m,∴AH= =40 m.
∵DF=40( -1) m,∴HF=HD+DF=40+40( -1)=40 (m).
∴在Rt△AHF中,AH=HF,∴∠HAF=45°.∴∠DAF=15°.
∴∠EAF=90°-15°=75°.∴∠EAF= ∠BAD.
运用上面的结论可得EF=BE+DF=80+40( -1)=40+40 ≈109(m).即这条道路EF的长约为109 m.
【解析】（1）根据旋转的性质可证得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°, ∠EAG=90°，再根据∠EAF=45°，可证得∠GAF=∠EAF，根据全等三角形的判定证明△AFG≌△AFE，得出GF=EF，然后根据GF=DG+FD，即可证得结论。
（2）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG的位置,由旋转的性质可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG, ∠BAE=∠DAG，可证得∠ADC+∠ADG=180°，得出G,D,C三点共线，再根据∠EAF=∠BAD去证明∠GAF=∠EAF，从而证得△AFG≌△AFE，得出GF=EF，然后再证明EF=BE+FD，就可得出当∠EAF=∠BAD时，仍有EF=BE+FD成立。
（3）结合已知条件易证△ABE是等边三角形.，就可求出BE的长，添加辅助线，连接AF,过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出HD的长，再根据勾股定理求出AH的长，从而就可求出HF的长，证得AH=HF，然后证明∠EAF= ∠BAD，根据以上结论可求出EF的长。