Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，OE：EA=1：2，PA=6，∠POC=∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求sin∠PCA的值．

Answer 1

分析：（1）由弦CD⊥AB于点E，所以∠COE+∠OCE=90°，又∠POC=∠PCE，所以，∠PCE+∠OCE=90°，即可证明；
（2）由OE：EA=1：2，可设OE=k，EA=2k，则半径r=3k，易证△COE∽△POC，所以，CO²=OE•OP，代入即可求得；
（3）过A作AH⊥PC，垂足为H，由PC⊥OC∴AH∥OC，得AH=2，在Rt△COE中，解得CE=2

2

，在Rt△ACE中，解得AC=2

3

，即可得出结论；

解答：解：（1）证明：∵弦CD⊥AB于点E，
∴在Rt△COE中∠COE+∠OCE=90°，
∵∠POC=∠PCE，
∴∠PCE+∠OCE=90°，即PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）∵OE：EA=1：2，PA=6，
∴可设OE=k，EA=2k，则半径r=3k，
在Rt△COP中，
∵CE⊥PO垂足为E，
∴△COE∽△POC，
∴CO²=OE•OP即（3k）²=k•（3k+6），
解得k=0（舍去）或k=1，
∴半径r=3；

（3）过A作AH⊥PC，垂足为H，
∵PC⊥OC∴AH∥OC，
∴

AH

OC

=

AP

PO

，即

AH

3

=

6

9

，解得AH=2，
在Rt△COE中，由OC=3，OE=1，解得CE=2

2

，
在Rt△ACE中，由CE=2

2

，AE=2，解得AC=2

3

，
在Rt△ACH中，由AC=2

3

，AH=2，
∴sin∠PCA=

AH

AC

=

2

2 3

=

3

3

．

点评：本题考查了解直角三角形、相似三角形及切线的判定与性质的综合应用，应熟练掌握其判定、性质定理，考查了学生综合应用知识的能力．