Question

【题目】如图①，AB是⊙O的直径，且AB＝10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.(1)求证：∠DAC＝∠BAC；

(2)若AD和⊙O相切于点A，求AD的长；

(3)若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G，C两点，题中的其他条件不变，试问这时与∠DAC相等的角是否存在，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）存在，∠BAG＝∠DAC，理由详见解析.

【解析】试题分析：

（1）连接OC，则OC∥AD，得∠OCA=∠DAC，又∠OCA=∠OAC，即可证明；

（2）根据切线长定理，证明矩形OADC是正方形；

（3）连接BC，证∠BCG=∠DAC，又∠BCG=∠BAG，即得证.

试题解析：

(1)证明：如图①，连接OC.∵直线EF和⊙O相切于点C，

∴OC⊥EF.∵AD⊥EF，∴OC∥AD.∴∠DAC＝∠OCA.

∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠BAC.

(2)解：∵AD和⊙O相切于点A，∴OA⊥AD.∵AD⊥EF，OC⊥EF，

∴∠OAD＝∠ADC＝∠OCD＝90°.∴四边形OADC是矩形．∵OA＝OC，

∴矩形OADC是正方形．∴AD＝OA.∵AB＝2OA＝10，∴AD＝OA＝5.

(3)解：存在，∠BAG＝∠DAC.理由如下：如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°.∴∠ACD＋∠BCG＝90°.∵∠ADC＝90°，

∴∠ACD＋∠DAC＝90°.∴∠DAC＝∠BCG.∵∠BCG＝∠BAG，∴∠BAG＝∠DAC.